Uma longa haste cilíndrica, com 8 cm de diâmetro, está inicialmente a uma temperatura uniforme de
. No tempo
, ela é exposta a uma temperatura ambiente de
, por meio de um coeficiente de transferência de calor de
. A condutividade térmica da haste é
e a difusividade térmica é de
. Determine qual será o tempo necessário para que a variação da temperatura na linha central da haste atinja
de seu valor máximo. Passado este tempo, qual será a temperatura a 2 cm da superfície da barra?
Passo 1
Beleza, amigo! Vamos resolver esse exercício de transferência de calor. A gente tem uma haste cilíndrica que começa a uma temperatura uniforme de
e, de repente, é exposta a uma temperatura ambiente de
. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura na linha central da haste atingir 90% do valor máximo que ela pode alcançar. Depois disso, vamos ver qual será a temperatura a 2 cm da superfície da haste. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor transitória em cilindros, com base nas propriedades térmicas fornecidas: condutividade térmica, coeficiente de transferência de calor e difusividade térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa condução de calor transitória. Isso acontece quando a temperatura em um material muda com o tempo, como nesse caso onde a haste está sendo aquecida. A equação que descreve essa situação para um cilindro é a equação de difusão de calor. Para resolver, vamos usar a solução de Fourier para condução de calor em cilindros, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia no tempo e na posição.
Passo 3
Para encontrar o tempo necessário para que a temperatura na linha central atinja 90% do seu valor máximo, usamos a seguinte fórmula derivada da solução de Fourier para um cilindro:
Onde:
-
é a fração da diferença de temperatura, -
, -
são as raízes da função (função de Bessel de primeira espécie), -
é a função de Bessel de primeira espécie de ordem um.
Para simplificar, usamos a aproximação para o primeiro termo da série, que domina o comportamento inicial:
Aqui,
é a primeira raiz de
.
Queremos
, então:
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Vamos calcular isso usando os valores de
e
.
Passo 4
Calculando os valores:
Sabemos que
e
.
Substituindo na equação:
Vamos calcular o argumento do logaritmo primeiro:
Então:
Resposta
O tempo necessário para que a variação da temperatura na linha central da haste atinja 90 % de seu valor máximo é aproximadamente 0,16 segundos. Após esse tempo, a temperatura a 2 cm da superfície da barra será de aproximadamente 364 °C.
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e que a temperatura final no seu eixo central seja de
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e
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K.