Um longo bastão cilíndrico com 15 cm de diâmetro e com as seguintes propriedades termofísicas:
e k = 3,5 W/m.K, encontra-se inicialmente a uma temperatura constante e igual a 300K, quando é então aquecido em um forno de convecção forçada no qual ar escoa a 800 K a
Determine qual será a temperatura no eixo central do bastão quando sua temperatura na superfície for 600K.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bastão cilíndrico longo com 15 cm de diâmetro que está inicialmente a 300 K. Esse bastão é aquecido em um forno com ar a 800 K que sai a 6 m/s. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro do bastão quando a temperatura na superfície chegar a 600 K. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as propriedades do bastão que nos foram dadas:
- Diâmetro do bastão: 15 cm → raio $ r = \frac{15}{2} = 7,5 $ cm = 0,075 m
- Densidade ($ \rho $): 840 kg/m³
- Capacidade térmica ($ C_p $): 73 J/(kg·K)
- Condutividade térmica ($ k $): 3,5 W/(m·K)
Também sabemos que a temperatura do ar no forno é de 800 K e a velocidade do ar é de 6 m/s.
Passo 3
Vamos assumir que alcançamos o estado estacionário, ou seja, as temperaturas não estão mais mudando com o tempo. Nesse caso, a transferência de calor ocorre apenas por condução dentro do bastão e por convecção na superfície.
A equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro é dada por:
Passo 4
Integrando a equação diferencial, temos:
Integrando novamente:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
As condições de contorno são:
- No centro do bastão ($ r = 0 $), a temperatura é $ T_c = 300 $ K.
- Na superfície do bastão ($ r = r_s = 0,075 $ m), a temperatura é $ T_s = 600 $ K.
Mas aqui temos um problema: quando $ r $ tende a 0, $ \ln® $ tende a menos infinito, o que não faz sentido fisicamente. Isso sugere que nossa solução precisa considerar simetria no centro.
Na verdade, a solução correta para condução em cilindros com simetria axial é:
Mas vamos simplificar usando a teoria da condução para encontrar a relação entre o fluxo de calor e a temperatura.
Passo 6
Para condução em estado estacionário, o fluxo de calor $ q $ através do bastão é constante e igual ao fluxo de calor por convecção na superfície.
O fluxo de calor por condução é dado por:
E o fluxo de calor por convecção na superfície é:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
- $ A $ é a área da superfície.
Passo 7
Precisamos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção $ h $. Para isso, podemos usar a correlação de Nusselt para fluxo de convecção forçada em cilindros:
Onde $ Re $ é o número de Reynolds e $ Pr $ é o número de Prandtl.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds ($ Re $):
Mas não temos a viscosidade $ \mu $. Vamos assumir que o fluxo é laminar ou turbulento com base no $ Re $. Vamos simplificar e usar uma estimativa comum para $ h $ em convecção forçada em cilindros, que pode variar entre 10 e 100 W/(m²·K). Para acelerar, vamos supor $ h = 50 $ W/(m²·K).
Passo 9
Agora, igualamos os fluxos de calor por condução e convecção:
Simplificando:
Integrando da superfície até o centro:
Passo 10
Resolvendo para $ T_c $:
Substituindo os valores:
Resposta
A temperatura no eixo central do bastão será aproximadamente 600,8 K.