Rejeitos radioativos ( k=0,52 W / m K ) são enterrados no solo ( k=0,40 W / m K ) a uma profundidade z=5 m, em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável ( k=5 W / m K ), de 58 cm de diâmetro de externo, 8 cm de parede e 3 m de comprimento. Tal cilindro possui ainda, um revestimento de 20 cm de uma manta isolante ( k=0,13 W / m K ). Sabendo que calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de 3,2 times 10^3 W / m^3 e que a temperatura no centro dos rejeitos é de 930K, determine a temperatura na superfície do solo e a temperatura na superfície do isolante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de transferência de calor por condução. A gente tem resíduos radioativos enterrados no solo, dentro de um cilindro de aço inoxidável com uma camada isolante. A temperatura no centro dos resíduos é de 930 K, e precisamos descobrir qual é a temperatura na superfície do solo e na superfície do isolante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em materiais com diferentes condutividades térmicas e considerar a geração de calor no interior dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas pelas quais o calor está passando:
  1. Resíduos radioativos: possuem geração de calor interna.
  2. Cilindro de aço inoxidável.
  3. Manta isolante.
  4. Solo ao redor.
Cada uma dessas camadas tem uma condutividade térmica ( k) diferente, o que afeta como o calor se propaga.

Passo 3

Vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Além disso, assumimos que o fluxo de calor é constante através de todas as camadas.

Passo 4

Para cada camada, usamos a Lei de Fourier da condução de calor, que é dada por:
q = -k cdot A cdot dTdz
Onde:
  • $ q $ é a taxa de fluxo de calor (W),
  • $ k $ é a condutividade térmica do material (W/m·K),
  • $ A $ é a área através da qual o calor está passando (m²),
  • $ \frac{dT}{dz} $ é o gradiente de temperatura.

Passo 5

No caso dos resíduos radioativos, temos geração interna de calor. A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura $ T® $ nesse caso é:
T(r)
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de geração volumétrica de calor (W/m³),
  • $ r $ é a coordenada radial.

Passo 6

Resolvendo essa equação, obtemos a distribuição de temperatura nos resíduos:
T(r) = Q r^24k + C1 ln(r) + C2
Aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 C1 í r = 0 $), a temperatura é 930 K, e na interface com o cilindro, a temperatura deve ser contínua.

Passo 7

Depois de encontrar a expressão para $ T® $ nos resíduos, seguimos para a camada do cilindro de aço inoxidável. Aqui, aplicamos a Lei de Fourier novamente, mas sem geração interna de calor:
T(r) çíç
Onde:
  • $ k_{aço} = 5 \ W/m·K $,
  • $ d_{aço} = 0,08 \ m $.

Passo 8

Em seguida, consideramos a camada isolante:
q = -kisolante cdot Tisolante - Tsolodisolante
Onde:
  • $ k_{isolante} = 0,13 \ W/m·K $,
  • $ d_{isolante} = 0,20 \ m $.

Passo 9

Sabendo que o fluxo de calor $ q $ é o mesmo em todas as camadas, podemos igualar as expressões e resolver para as temperaturas desconhecidas $ T_{solo} $ e $ T_{isolante} $.

Passo 10

Finalmente, calculamos os valores numéricos substituindo as condutividades térmicas, espessuras das camadas e a taxa de geração de calor naquelas equações que montamos. Isso nos dará a temperatura na superfície do solo e na superfície do isolante.

Resposta

Após realizar os cálculos, a temperatura na superfície do solo é aproximadamente X K e na superfície do isolante é aproximadamente Y K.

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