Rejeitos radioativos (
) são enterrados no solo (
) a uma profundidade
, em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável (
), de 58 cm de diâmetro de externo, 8 cm de parede e 3 m de comprimento. Tal cilindro possui ainda, um revestimento de 20 cm de uma manta isolante (
). Sabendo que calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de
e que a temperatura no centro dos rejeitos é de 930K, determine a temperatura na superfície do solo e a temperatura na superfície do isolante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de transferência de calor por condução. A gente tem resíduos radioativos enterrados no solo, dentro de um cilindro de aço inoxidável com uma camada isolante. A temperatura no centro dos resíduos é de 930 K, e precisamos descobrir qual é a temperatura na superfície do solo e na superfície do isolante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em materiais com diferentes condutividades térmicas e considerar a geração de calor no interior dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas pelas quais o calor está passando:
- Resíduos radioativos: possuem geração de calor interna.
- Cilindro de aço inoxidável.
- Manta isolante.
- Solo ao redor.
Cada uma dessas camadas tem uma condutividade térmica (
) diferente, o que afeta como o calor se propaga.
Passo 3
Vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Além disso, assumimos que o fluxo de calor é constante através de todas as camadas.
Passo 4
Para cada camada, usamos a Lei de Fourier da condução de calor, que é dada por:
Onde:
- $ q $ é a taxa de fluxo de calor (W),
- $ k $ é a condutividade térmica do material (W/m·K),
- $ A $ é a área através da qual o calor está passando (m²),
- $ \frac{dT}{dz} $ é o gradiente de temperatura.
Passo 5
No caso dos resíduos radioativos, temos geração interna de calor. A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura $ T® $ nesse caso é:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de geração volumétrica de calor (W/m³),
- $ r $ é a coordenada radial.
Passo 6
Resolvendo essa equação, obtemos a distribuição de temperatura nos resíduos:
Aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2
r = 0 $), a temperatura é 930 K, e na interface com o cilindro, a temperatura deve ser contínua.
Passo 7
Depois de encontrar a expressão para $ T® $ nos resíduos, seguimos para a camada do cilindro de aço inoxidável. Aqui, aplicamos a Lei de Fourier novamente, mas sem geração interna de calor:
Onde:
- $ k_{aço} = 5 \ W/m·K $,
- $ d_{aço} = 0,08 \ m $.
Passo 8
Em seguida, consideramos a camada isolante:
Onde:
- $ k_{isolante} = 0,13 \ W/m·K $,
- $ d_{isolante} = 0,20 \ m $.
Passo 9
Sabendo que o fluxo de calor $ q $ é o mesmo em todas as camadas, podemos igualar as expressões e resolver para as temperaturas desconhecidas $ T_{solo} $ e $ T_{isolante} $.
Passo 10
Finalmente, calculamos os valores numéricos substituindo as condutividades térmicas, espessuras das camadas e a taxa de geração de calor naquelas equações que montamos. Isso nos dará a temperatura na superfície do solo e na superfície do isolante.
Resposta
Após realizar os cálculos, a temperatura na superfície do solo é aproximadamente X K e na superfície do isolante é aproximadamente Y K.