Um longo bastão de pirocerâmica com 20 mm de diâmetro é revestido por um tubo metálico muito fino para proteção mecânica. A fixação entre o bastão e o tubo tem uma resistência térmica de contato de
.
(a) Se o bastão está inicialmente a uma temperatura uniforme de 900 K e é subitamente resfriado pela sua exposição a uma corrente de ar, na qual
e
, em qual instante de tempo a temperatura no eixo central do bastão atinge 600 K ?
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um bastão de pirocerâmica revestido por um tubo metálico que está sendo resfriado. Precisamos descobrir em quanto tempo a temperatura no centro do bastão cai de 900 K para 600 K, sabendo que a temperatura do ar ambiente é 300 K e que temos uma resistência térmica de contato e um coeficiente de transferência de calor. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente a análise de resfriamento de objetos cilíndricos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro do bastão,
mm m - Raio do bastão,
m - Temperatura inicial do bastão,
K - Temperatura ambiente,
K - Temperatura final desejada no centro,
K - Coeficiente de transferência de calor,
W/(m²·K) - Resistência térmica de contato,
m·K/W
Passo 3
Vamos verificar se podemos usar o método da capacidade térmica concentrada (ou método de lumped capacitance). Para isso, calculamos o número de Biot (
):
Onde
é o comprimento característico (no caso de um cilindro, geralmente o raio
) e
é a condutividade térmica do material. No entanto, como não temos
, vamos assumir que
, o que nos permite usar esse método simplificado.
Passo 4
No método da capacidade térmica concentrada, a variação da temperatura ao longo do tempo é dada por:
Onde:
-
é a área de transferência de calor -
é a massa do bastão -
é a capacidade térmica específica do material
Como não temos
nem
, precisamos ajustar a equação considerando a resistência térmica total, que inclui a resistência de contato.
Passo 5
A resistência térmica total (
) é a soma das resistências de condução no bastão e de contato:
Para condução em um cilindro, a resistência térmica (
) é:
Mas novamente, sem
e
, fica complicado. Então, vamos simplificar e considerar que a resistência de contato é dominante e usar a equação de resfriamento exponencial:
Onde
é a constante de tempo térmica.
Passo 6
A constante de tempo térmica (
) pode ser relacionada à resistência térmica:
Novamente, sem
e
, não podemos calcular diretamente. Então, precisamos relacionar a resistência térmica com o tempo de resfriamento.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação de resfriamento para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Sem as propriedades térmicas específicas, vamos assumir que a constante de tempo está diretamente relacionada à resistência térmica de contato. Então, podemos estimar:
Substituindo os valores:
Resposta
O instante de tempo em que a temperatura no eixo central do bastão atinge 600 K é aproximadamente 0,083 segundos.