Esferas A e B estão inicialmente a uma temperatura de 800 K e são simultaneamente resfriadas em grandes banhos a temperaturas constantes. Os banhos se encontram ambos a temperatura de 320 K . Os seguintes parâmetros estão associados a cada uma das esferas e seus processos de resfriamento.
Esfera A Esfera B
Diâmetro [mm] 300 30
Densidade [Kg / m^2] 1600 400
Calor especifico [J /(kg K)] 0.4 1.6
Condutividade térmica[W/(mK)] 200 1.5
Coeficiente de convecçāo [W /(m^2 K)] 5 50
a) Mostre de forma qualitativa, em coordenadas T versus t, as temperaturas no centro e na superficie de cada esfera em funçao do tempo. Explique resumidamente a raz�o pela qual vocé determina a posiçâo relativa das curvas.
b) Calcule o tempo necessário para que a superficie de cada esfera alcance a temperatura de 415 K .
c) Determine a energia ganha por cada um dos banhos durante o processo de resfriamento das esferas a 415 K .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos duas esferas, A e B, ambas inicialmente a 800 K, que estão sendo resfriadas em banhos a 320 K. As esferas têm diferentes diâmetros, densidades, calores específicos, condutividades térmicas e coeficientes de convecção. O conteúdo da matéria aqui é transferência de calor, mais especificamente resfriamento por condução e convecção. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a taxa de resfriamento e o tempo necessário para que a superfície das esferas atinja uma certa temperatura.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), que pede para mostrar de forma qualitativa como as temperaturas no centro e na superfície de cada esfera evoluem ao longo do tempo em um gráfico versus .
Sabemos que o resfriamento de uma esfera ocorre por condução no interior e por convecção na superfície. A taxa de resfriamento depende da condutividade térmica e do coeficiente de convecção. Uma esfera com maior condutividade térmica vai resfriar mais rápido no interior, e um coeficiente de convecção maior faz com que a transferência de calor na superfície seja mais eficiente.
Comparando as Esferas A e B:
  • Esfera A tem maior diâmetro, densidade e condutividade térmica, mas menor coeficiente de convecção.
  • Esfera B é menor, menos densa, com condutividade térmica menor, mas coeficiente de convecção maior.
Por isso, no gráfico versus :
  • A Esfera B vai resfriar a superfície mais rápido devido ao maior coeficiente de convecção, mas seu interior vai demorar mais para atingir o equilíbrio térmico devido ao menor diâmetro e menor condutividade.
  • A Esfera A, sendo maior e com maior condutividade, vai ter uma taxa de resfriamento mais uniforme entre a superfície e o centro.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): calcular o tempo necessário para que a superfície de cada esfera atinja a temperatura de 415 K.
Para isso, vamos usar a equação de resfriamento por convecção:
dTdt = -h Am c (T - Tbath)
Onde:
  • T(t) = Tbath + (T0 - Tbath) e^-h Am c t é o coeficiente de convecção,
  • m = rho times V = rho times 43 pi r^3 é a área superficial da esfera,
  • mA = 1600 times 43 pi (0.15)^3 approx 16.964 kg é a massa da esfera,
  • mB = 400 times 43 pi (0.015)^3 approx 0.01414 kg é o calor específico,
  • 415 = 320 + (800 - 320) e^-h Am c t é a temperatura da superfície no tempo 415 - 320 = 480 times e^-h Am c t 95 = 480 times e^-h Am c t 95480 = e^-h Am c t ln(95480) = -h Am c t t = -ln(95480) m ch A ,
  • tA = -ln(95480) times 16.964 times 0.45 times 0.2827 approx 61.57 segundos é a temperatura do banho.
Rearranjando e integrando, obtemos:
tB = -ln(95480) times 0.01414 times 1.650 times 0.002827 approx 61.57 segundos
Queremos encontrar quando K.
Primeiro, vamos calcular a massa ( ) de cada esfera:
Onde é o raio da esfera.
Vamos fazer isso para cada esfera:
Esfera A:
  • Diâmetro: 300 mm ⇒ Raio m
  • Densidade kg/m³
  • Calor específico J/(kg·K)
  • Coeficiente de convecção W/(m²·K)
  • Área superficial
Massa de A:
Esfera B:
  • Diâmetro: 30 mm ⇒ Raio m
  • Densidade kg/m³
  • Calor específico J/(kg·K)
  • Coeficiente de convecção W/(m²·K)
  • Área superficial
Massa de B:
Agora, aplicando a equação de resfriamento para cada esfera:
Resolvendo para :
Calculando para cada esfera:
Para Esfera A:
Para Esfera B:
Curiosamente, ambos os tempos são aproximadamente iguais devido aos compensadores entre massa, calor específico, coeficiente de convecção e área superficial.

Resposta

O tempo necessário para que a superfície de cada esfera atinja a temperatura de 415 K é aproximadamente 61,57 segundos para ambas as esferas A e B.

Exercícios relacionados