Esferas
e
estão inicialmente a uma temperatura de 800 K e são simultaneamente resfriadas em grandes banhos a temperaturas constantes. Os banhos se encontram ambos a temperatura de 320 K . Os seguintes parâmetros estão associados a cada uma das esferas e seus processos de resfriamento.
Esfera A | Esfera B | |
---|---|---|
Diâmetro
|
300 | 30 |
Densidade
|
1600 | 400 |
Calor especifico
|
0.4 | 1.6 |
Condutividade térmica[W/(mK)] | 200 | 1.5 |
Coeficiente de convecçāo
|
5 | 50 |
a) Mostre de forma qualitativa, em coordenadas
versus
, as temperaturas no centro
na superficie de cada esfera em funçao do tempo. Explique resumidamente a raz�o pela qual vocé determina a posiçâo relativa das curvas.
b) Calcule o tempo necessário para que a superficie de cada esfera alcance a temperatura de 415 K .
c) Determine a energia ganha por cada um dos banhos durante o processo de resfriamento das esferas a 415 K .
b) Calcule o tempo necessário para que a superficie de cada esfera alcance a temperatura de 415 K .
c) Determine a energia ganha por cada um dos banhos durante o processo de resfriamento das esferas a 415 K .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos duas esferas, A e B, ambas inicialmente a 800 K, que estão sendo resfriadas em banhos a 320 K. As esferas têm diferentes diâmetros, densidades, calores específicos, condutividades térmicas e coeficientes de convecção. O conteúdo da matéria aqui é transferência de calor, mais especificamente resfriamento por condução e convecção. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a taxa de resfriamento e o tempo necessário para que a superfície das esferas atinja uma certa temperatura.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que pede para mostrar de forma qualitativa como as temperaturas no centro e na superfície de cada esfera evoluem ao longo do tempo em um gráfico
versus
.
Sabemos que o resfriamento de uma esfera ocorre por condução no interior e por convecção na superfície. A taxa de resfriamento depende da condutividade térmica e do coeficiente de convecção. Uma esfera com maior condutividade térmica vai resfriar mais rápido no interior, e um coeficiente de convecção maior faz com que a transferência de calor na superfície seja mais eficiente.
Comparando as Esferas A e B:
- Esfera A tem maior diâmetro, densidade e condutividade térmica, mas menor coeficiente de convecção.
- Esfera B é menor, menos densa, com condutividade térmica menor, mas coeficiente de convecção maior.
Por isso, no gráfico
versus
:
- A Esfera B vai resfriar a superfície mais rápido devido ao maior coeficiente de convecção, mas seu interior vai demorar mais para atingir o equilíbrio térmico devido ao menor diâmetro e menor condutividade.
- A Esfera A, sendo maior e com maior condutividade, vai ter uma taxa de resfriamento mais uniforme entre a superfície e o centro.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): calcular o tempo necessário para que a superfície de cada esfera atinja a temperatura de 415 K.
Para isso, vamos usar a equação de resfriamento por convecção:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção, -
é a área superficial da esfera, -
é a massa da esfera, -
é o calor específico, -
é a temperatura da superfície no tempo , -
é a temperatura do banho.
Rearranjando e integrando, obtemos:
Queremos encontrar
quando
K.
Primeiro, vamos calcular a massa (
) de cada esfera:
Onde
é o raio da esfera.
Vamos fazer isso para cada esfera:
Esfera A:
- Diâmetro: 300 mm ⇒ Raio
m - Densidade
kg/m³ - Calor específico
J/(kg·K) - Coeficiente de convecção
W/(m²·K) - Área superficial
m²
Massa de A:
Esfera B:
- Diâmetro: 30 mm ⇒ Raio
m - Densidade
kg/m³ - Calor específico
J/(kg·K) - Coeficiente de convecção
W/(m²·K) - Área superficial
m²
Massa de B:
Agora, aplicando a equação de resfriamento para cada esfera:
Resolvendo para
:
Calculando
para cada esfera:
Para Esfera A:
Para Esfera B:
Curiosamente, ambos os tempos são aproximadamente iguais devido aos compensadores entre massa, calor específico, coeficiente de convecção e área superficial.
Resposta
O tempo necessário para que a superfície de cada esfera atinja a temperatura de 415 K é aproximadamente 61,57 segundos para ambas as esferas A e B.