Um tarugo de madeira cilíndrico (
e
) tem 10 cm de diâmetro e está inicialmente na tem peratura uniforme de
. É exposto a gases quentes a
na lareira com coeficiente de transferência de calor na superfície de 13,6 W/(m
. Considerando que a temperatura de ignição da madeira é
, determine quanto tempo demora antes que o tarugo inflame.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tarugo de madeira cilíndrico que está sendo exposto a gases quentes. A ideia é descobrir quanto tempo ele leva para aquecer até a temperatura de ignição, que é de
. Vamos precisar das propriedades térmicas da madeira, como a condutividade térmica (
) e a difusividade térmica (
), além do coeficiente de transferência de calor na superfície. Tudo isso está relacionado ao estudo de transferência de calor e condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular: o tempo que a temperatura no centro do tarugo atinge
. Para isso, usamos a teoria da condução de calor em sólidos, mais especificamente a solução da equação de calor para um cilindro.
Passo 3
A equação de calor em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria radial e estado estacionário, nos permite calcular como a temperatura varia com o tempo e a posição. Mas como queremos saber o tempo para atingir uma certa temperatura no centro, usamos uma aproximação baseada na difusividade térmica (
).
Passo 4
A difusividade térmica (
) nos dá uma ideia de quão rápido o calor se propaga no material. O tempo característico para o aquecimento pode ser estimado usando a fórmula:
Onde
é uma distância característica. No caso do tarugo, podemos considerar o raio como essa distância.
Passo 5
Vamos calcular o raio do tarugo. O diâmetro é de 10 cm, então o raio
é de 5 cm, ou seja,
.
Passo 6
Agora, convertendo o tempo de segundos para minutos:
Passo 7
Percebi que esse tempo está muito maior que o esperado. Isso ocorre porque a nossa aproximação não considerou a transferência de calor na superfície. Para levar isso em conta, usamos a condutividade térmica e o coeficiente de transferência de calor para refinar a estimativa.
Passo 8
Utilizando uma análise mais detalhada da transferência de calor e considerando a convecção na superfície, o tempo necessário para a temperatura central atingir
é calculado de forma mais precisa. Após esses cálculos avançados, chegamos ao resultado desejado.