Questão 4. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote.
(b) Admitindo-se que o lote foi aceito, qual é a probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito?
(b) Admitindo-se que o lote foi aceito, qual é a probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um lote com 120 peças, das quais 20 são defeituosas. Selecionamos uma amostra de 5 peças e o lote é aceito se tiver, no máximo, 1 defeito na amostra. A parte (b) da questão quer saber: se o lote foi aceito, qual é a probabilidade de termos observado exatamente 1 defeito na amostra?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional, que é quando queremos saber a probabilidade de um evento A acontecer dado que outro evento B já aconteceu. No nosso caso:
- Evento A: Ter exatamente 1 defeito na amostra.
- Evento B: Ter, no máximo, 1 defeito na amostra (ou seja, 0 ou 1 defeito).
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em amostras sem reposição, usando combinações. Vamos usar a fórmula da distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade do Evento A: ter exatamente 1 defeito na amostra de 5 peças.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
-
(total de peças) -
(peças defeituosas) -
(tamanho da amostra) -
(número de defeitos na amostra)
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade do Evento B: ter, no máximo, 1 defeito na amostra. Isso inclui duas possibilidades: 0 defeitos ou 1 defeito.
Primeiro, para 0 defeitos:
E já calculamos
no passo anterior.
Então, a probabilidade total do Evento B é:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
Ou seja, a probabilidade de ter exatamente 1 defeito dado que o lote foi aceito é a probabilidade de ter 1 defeito dividida pela probabilidade de ter no máximo 1 defeito.
Passo 5
Vamos calcular os valores numéricos passo a passo.
Primeiro, calcular as combinações:
Agora, substituindo:
Mas aqui percebemos que
não pode ser maior que 1, então houve um erro nos cálculos das combinações. Vamos corrigir:
Calculando novamente:
Ainda está acima de 1, o que não faz sentido. O erro está na forma como dividimos os valores. Vamos refazer:
Na verdade, as combinações já são números inteiros, mas precisamos dividir corretamente:
Claramente, houve uma confusão nos cálculos. Na verdade, a probabilidade não pode ser maior que 1, então precisamos corrigir usando a fórmula correta:
Veja que
está calculando uma probabilidade maior que 1, o que é impossível. O erro está no cálculo das combinações. Vamos recapitular:
Agora, calculando:
Percebo que há um equívoco nas contas. De fato,
é maior que
, o que não faz sentido, pois o número de combinações aumentaria com o aumento do tamanho do grupo. O correto é:
Na verdade, isso indica que houve um erro de cálculo. A relação correta é que
deve ser maior que
. Vamos calcular corretamente:
Agora, recalculando:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos calcular a probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito, dado que o lote foi aceito, é aproximadamente 51,0%.
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Vamos considerar que o tempo de execução de uma tarefa (inspeção de um produto, por exemplo), executado por funcionários de uma indústria, segue uma distribuição normal com média 30 minutos e desvio-padrão padrão 4 minutos.
Escolhido um funcionário ao acaso, determine a probabilidade de ele executar a tarefa em pelo menos 32 minutos;
Escolhido um funcionário ao acaso, determine a probabilidade de ele executar a tarefa em pelo menos 32 minutos;
O tempo
, em minutos, necessário para um operário processar uma peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
T | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0,1 | 0,1 | p | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
Calcule o tempo médio de processamento e interprete-o;
Suponha que foram escolhidos 5 engenheiros deste grupo:
Se a escolha foi feita com reposição, determine a probabilidade de encontrarmos 2 engenheiros com salário abaixo de .
Se a escolha foi feita com reposição, determine a probabilidade de encontrarmos 2 engenheiros com salário abaixo de