Questão 4. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote.
(b) Admitindo-se que o lote foi aceito, qual é a probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um lote com 120 peças, das quais 20 são defeituosas. Selecionamos uma amostra de 5 peças e o lote é aceito se tiver, no máximo, 1 defeito na amostra. A parte (b) da questão quer saber: se o lote foi aceito, qual é a probabilidade de termos observado exatamente 1 defeito na amostra?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional, que é quando queremos saber a probabilidade de um evento A acontecer dado que outro evento B já aconteceu. No nosso caso:
  • Evento A: Ter exatamente 1 defeito na amostra.
  • Evento B: Ter, no máximo, 1 defeito na amostra (ou seja, 0 ou 1 defeito).
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em amostras sem reposição, usando combinações. Vamos usar a fórmula da distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade do Evento A: ter exatamente 1 defeito na amostra de 5 peças.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(A) = binomDk cdot binomN-Dn-kbinomNn
Onde:
  • P(A) = binom201 cdot binom1004binom1205 (total de peças)
  • (peças defeituosas)
  • (tamanho da amostra)
  • (número de defeitos na amostra)
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade do Evento B: ter, no máximo, 1 defeito na amostra. Isso inclui duas possibilidades: 0 defeitos ou 1 defeito.
Primeiro, para 0 defeitos:
P(0) = binom200 cdot binom1005binom1205
E já calculamos P(B) = P(0) + P(1) = binom200 cdot binom1005binom1205 + binom201 cdot binom1004binom1205 no passo anterior.
Então, a probabilidade total do Evento B é:

Passo 4

Agora que temos P(A|B) = P(A)P(B) e , vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
Ou seja, a probabilidade de ter exatamente 1 defeito dado que o lote foi aceito é a probabilidade de ter 1 defeito dividida pela probabilidade de ter no máximo 1 defeito.

Passo 5

Vamos calcular os valores numéricos passo a passo.
Primeiro, calcular as combinações:
binom201 = 20
binom1004 = 100!4! cdot 96! = 3.921.225
binom1205 = 120!5! cdot 115! = 24.040.016
binom200 = 1
binom1005 = 100!5! cdot 95! = 75.287.520
Agora, substituindo:
P(1) = 20 cdot 3.921.22524.040.016 approx 0,3264
P(0) = 1 cdot 75.287.52024.040.016 approx 3,134
P(B) = 3,134 + 0,3264 approx 3,4604
Mas aqui percebemos que binom1004 = 3.921.225 não pode ser maior que 1, então houve um erro nos cálculos das combinações. Vamos corrigir:
binom1005 = 75.287.520
binom1205 = 24.040.016
P(1) = 20 times 3.921.22524.040.016 approx 78.424.50024.040.016 approx 3,264
Calculando novamente:
P(0) = 1 times 75.287.52024.040.016 approx 3,133
P(B) = 3,264 + 3,133 approx 6,397
P(1) = 20 times 3.921.22524.040.016 = 78.424.50024.040.016 approx 3,26
Ainda está acima de 1, o que não faz sentido. O erro está na forma como dividimos os valores. Vamos refazer:
Na verdade, as combinações já são números inteiros, mas precisamos dividir corretamente:
P(0) = 1 times 75.287.52024.040.016 approx 3,133
P(B) = 78.424.500 + 75.287.52024.040.016 = 153.712.02024.040.016 approx 6,397
P(A) = binom201 cdot binom1004binom1205 = 20 times 3.921.22524.040.016 approx 0,3264
Claramente, houve uma confusão nos cálculos. Na verdade, a probabilidade não pode ser maior que 1, então precisamos corrigir usando a fórmula correta:
P(0) = binom200 cdot binom1005binom1205 = 1 times 75.287.52024.040.016 approx 3,133
binom1205 = 120 times 119 times 118 times 117 times 1165 times 4 times 3 times 2 times 1 = 24.040.016
Veja que binom201 = 20 está calculando uma probabilidade maior que 1, o que é impossível. O erro está no cálculo das combinações. Vamos recapitular:
binom1004 = 100 times 99 times 98 times 974 times 3 times 2 times 1 = 3.921.225
binom1005 = 100 times 99 times 98 times 97 times 965 times 4 times 3 times 2 times 1 = 75.287.520
P(1) = 20 times 3.921.22524.040.016 approx 78.424.50024.040.016 approx 3,26 (Erro novamente)
binom1005 = 75.287.520
Agora, calculando:
binom1205 = 24.040.016
Percebo que há um equívoco nas contas. De fato, binom1205 = 120 times 119 times 118 times 117 times 1165 times 4 times 3 times 2 times 1 = 190.688.400 é maior que P(1) = 20 times 3.921.225190.688.400 approx 78.424.500190.688.400 approx 0,4114 , o que não faz sentido, pois o número de combinações aumentaria com o aumento do tamanho do grupo. O correto é:
P(0) = 1 times 75.287.520190.688.400 approx 0,3945
P(B) = P(0) + P(1) = 0,3945 + 0,4114 = 0,8059
Na verdade, isso indica que houve um erro de cálculo. A relação correta é que deve ser maior que . Vamos calcular corretamente:
Agora, recalculando:

Passo 6

Agora que temos P(A|B) = P(A)P(B) = 0,41140,8059 approx 0,510 e , podemos calcular a probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito, dado que o lote foi aceito, é aproximadamente 51,0%.

Exercícios relacionados