O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e têm distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
Determine as funções de probabilidade marginais de N1 e N2 e conclua o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma torre de celular que recebe um certo número de chamadas em uma hora, e esse número de chamadas, que chamamos de , segue uma distribuição de Poisson com média . Cada chamada pode ser local com probabilidade ou internacional/interurbana com probabilidade .
Queremos descobrir as funções de probabilidade de (chamadas locais) e (chamadas internacionais/interurbanas), e mostrar que essas duas variáveis são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias e , respectivamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de Poisson, propriedades de variáveis aleatórias independentes e a ideia de divisão de um processo de Poisson em subprocessos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Uma variável aleatória P(N = k) = e^-lambda lambda^kk!, para k = 0, 1, 2, dots que segue uma distribuição de Poisson com média tem a função de probabilidade dada por:
Essa distribuição é útil para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas chamadas que a torre de celulares recebe. Cada chamada é local com probabilidade P(N1 = k mid N = n) = binomnk p^k (1-p)^n-k, para k = 0, 1, dots, n e internacional/interurbana com probabilidade . Isso significa que, dado que chamadas ocorreram na torre, o número de chamadas locais segue uma distribuição binomial, pois estamos repartindo chamadas em duas categorias com probabilidades e .
A função de probabilidade condicional de dado é:

Passo 4

Para encontrar a função de probabilidade marginal de P(N1 = k) = sumn=k^infty P(N1 = k mid N = n) P(N = n) , queremos P(N1 = k) = sumn=k^infty binomnk p^k (1-p)^n-k e^-lambda lambda^nn! sem condicionar em . Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Note que:
binomnk lambda^nn! = lambda^kk! lambda^n-k(n-k)!
Então, podemos reescrever a soma como:
P(N1 = k) = e^-lambda (lambda p)^kk! sumn=k^infty (lambda (1-p))^n-k(n-k)!

Passo 6

A soma que resta é a expansão da série de summ=0^infty (lambda (1-p))^mm! = e^lambda (1-p) :
P(N1 = k) = e^-lambda (lambda p)^kk! e^lambda (1-p) = e^-lambda p (lambda p)^kk!
Portanto, substituindo de volta:

Passo 7

Chegamos à função de probabilidade de P(N1 = k) = e^-lambda p (lambda p)^kk! :
Isso mostra que segue uma distribuição de Poisson com média .

Passo 8

O mesmo raciocínio se aplica a P(N2 = l) = e^-lambda (1-p) (lambda (1-p))^ll! , o número de chamadas internacionais/interurbanas. Já que cada chamada é internacional/interurbana com probabilidade , temos:
Isso mostra que segue uma distribuição de Poisson com média .

Passo 9

Finalmente, para mostrar que e são independentes, observamos que a soma e que e são contagens de eventos diferentes (locais e internacionais/interurbanas) que ocorrem de forma independente dentro do processo de Poisson original. Portanto, e são variáveis aleatórias independentes.

Resposta

As funções de probabilidade marginais são:
P(N1 = k) = e^-lambda p (lambda p)^kk!
P(N2 = l) = e^-lambda (1-p) (lambda (1-p))^ll!
Além disso, e são independentes e seguem distribuições de Poisson com médias e , respectivamente.

Exercícios relacionados