O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Determine as funções de probabilidade marginais de
e
e conclua o resultado.
Determine as funções de probabilidade marginais de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma torre de celular que recebe um certo número de chamadas em uma hora, e esse número de chamadas, que chamamos de
, segue uma distribuição de Poisson com média
. Cada chamada pode ser local com probabilidade
ou internacional/interurbana com probabilidade
.
Queremos descobrir as funções de probabilidade de
(chamadas locais) e
(chamadas internacionais/interurbanas), e mostrar que essas duas variáveis são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias
e
, respectivamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de Poisson, propriedades de variáveis aleatórias independentes e a ideia de divisão de um processo de Poisson em subprocessos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Uma variável aleatória
que segue uma distribuição de Poisson com média
tem a função de probabilidade dada por:
Essa distribuição é útil para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas chamadas que a torre de celulares recebe. Cada chamada é local com probabilidade
e internacional/interurbana com probabilidade
. Isso significa que, dado que
chamadas ocorreram na torre, o número de chamadas locais
segue uma distribuição binomial, pois estamos repartindo
chamadas em duas categorias com probabilidades
e
.
A função de probabilidade condicional de
dado
é:
Passo 4
Para encontrar a função de probabilidade marginal de
, queremos
sem condicionar em
. Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Note que:
Então, podemos reescrever a soma como:
Passo 6
A soma que resta é a expansão da série de
:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 7
Chegamos à função de probabilidade de
:
Isso mostra que
segue uma distribuição de Poisson com média
.
Passo 8
O mesmo raciocínio se aplica a
, o número de chamadas internacionais/interurbanas. Já que cada chamada é internacional/interurbana com probabilidade
, temos:
Isso mostra que
segue uma distribuição de Poisson com média
.
Passo 9
Finalmente, para mostrar que
e
são independentes, observamos que a soma
e que
e
são contagens de eventos diferentes (locais e internacionais/interurbanas) que ocorrem de forma independente dentro do processo de Poisson original. Portanto,
e
são variáveis aleatórias independentes.
Resposta
As funções de probabilidade marginais são:
Além disso,
e
são independentes e seguem distribuições de Poisson com médias
e
, respectivamente.
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