Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por
á
Mostre que área da região ;

Passo 1

Então, a gente tem um vetor aleatório que está distribuído de forma uniforme numa região no plano. O que a gente vai usar aqui é o conceito de distribuição uniforme em duas dimensões. A questão pede pra mostrar que é igual à área da região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade conjunta tem que somar 1 quando a gente integra sobre todo o espaço. Como a distribuição é uniforme dentro de , a densidade vale dentro de e é zero fora.

Passo 3

Então, a gente escreve a integral da densidade sobre a região :
Á

Passo 4

Sabemos que essa integral tem que ser igual a 1 porque representa a probabilidade total:
Á

Passo 5

Agora, é só resolver para :
Á

Resposta

Portanto, é igual à área da região .

Exercícios relacionados

O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Determine as funções de probabilidade marginais de e e conclua o resultado.
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a função de probabilidade de
Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de e desvio padrão de . Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras: é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]
Sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis são independentes?