Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que
área da região
;
Passo 1
Então, a gente tem um vetor aleatório
que está distribuído de forma uniforme numa região
no plano. O que a gente vai usar aqui é o conceito de distribuição uniforme em duas dimensões. A questão pede pra mostrar que
é igual à área da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade conjunta
tem que somar 1 quando a gente integra sobre todo o espaço. Como a distribuição é uniforme dentro de
, a densidade
vale
dentro de
e é zero fora.
Passo 3
Então, a gente escreve a integral da densidade sobre a região
:
Passo 4
Sabemos que essa integral tem que ser igual a 1 porque representa a probabilidade total:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Resposta
Portanto,
é igual à área da região
.
Exercícios relacionados
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Determine as funções de probabilidade marginais de e
e conclua o resultado.
Determine as funções de probabilidade marginais de
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade
. Seja
o total de baterias funcionando após
dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a função de probabilidade de
Encontre a função de probabilidade de
Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de
e desvio padrão de
. Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza
da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras:
é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]
Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e
variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis
são independentes?