Um vetor aleatório (X, Y) é dito uniformemente distribuído em uma região limitada R subset R^2 do plano se para alguma constante c in R, sua densidade conjunta é dada por
f(x, y)= c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á
Mostre que 1 / c= área da região R;

Passo 1

Então, a gente tem um vetor aleatório (X, Y) que está distribuído de forma uniforme numa região R no plano. O que a gente vai usar aqui é o conceito de distribuição uniforme em duas dimensões. A questão pede pra mostrar que 1/c é igual à área da região R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade conjunta f(x, y) tem que somar 1 quando a gente integra sobre todo o espaço. Como a distribuição é uniforme dentro de R, a densidade f(x, y) vale c dentro de R e é zero fora.

Passo 3

Então, a gente escreve a integral da densidade sobre a região R:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral duplaR c , dx , dy = c cdot Área(R) Á

Passo 4

Sabemos que essa integral tem que ser igual a 1 porque representa a probabilidade total:
c cdot Área(R) = 1 Á

Passo 5

Agora, é só resolver para c:
c = 1Área(R) Á

Resposta

Portanto, 1/c é igual à área da região R.

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