Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que
área da região
;
Passo 1
Então, a gente tem um vetor aleatório
que está distribuído de forma uniforme numa região
no plano. O que a gente vai usar aqui é o conceito de distribuição uniforme em duas dimensões. A questão pede pra mostrar que
é igual à área da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade conjunta
tem que somar 1 quando a gente integra sobre todo o espaço. Como a distribuição é uniforme dentro de
, a densidade
vale
dentro de
e é zero fora.
Passo 3
Então, a gente escreve a integral da densidade sobre a região
:
Passo 4
Sabemos que essa integral tem que ser igual a 1 porque representa a probabilidade total:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Resposta
Portanto,
é igual à área da região
.