Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
f(x)=cc c x^-c-1, & x >= 1 0, para quaisquer outros valores de x
Mostre que f(x) é, de fato, uma função densidade;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x)=cc c x^-c-1, & x >= 1 0, & caso contrário definida por:
á
O exercício pede para mostrar que é, de fato, uma função densidade. Isso está dentro da matéria de Probabilidade, especificamente sobre Funções de Densidade de Probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: deve ser sempre maior ou igual a zero.
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de deve ser 1.

Passo 2

Primeiro, vamos checar a não-negatividade de .
A função está definida como para e 0 para outros valores de . Sabemos que:
  • é sempre positivo quando , porque qualquer potência de positivo continua sendo positiva.
  • O coeficiente também precisa ser positivo para garantir que seja positivo.
Portanto, se , então para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar a integral de integral1^infty c x^-c-1 , dx de 1 até o infinito para garantir que seja igual a 1.
A integral fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral1^infty c x^-c-1 , dx
Podemos simplificar a expressão:
c integral1^infty x^-c-1 , dx
A antiderivada de x^-c-c é:
c [ x^-c-c ]1^infty = c ( 0 - ( 1^-c-c ) ) = c ( 0 - ( 1-c ) ) = c ( 1c ) = 1
Então, substituindo os limites de integração:

Resposta

Assim, mostramos que é uma função densidade válida, já que é não-negativa e sua integral de 1 até o infinito é igual a 1.

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