Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
Mostre que
é, de fato, uma função densidade;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por:
O exercício pede para mostrar que
é, de fato, uma função densidade. Isso está dentro da matéria de Probabilidade, especificamente sobre Funções de Densidade de Probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas:
- Não-negatividade:
deve ser sempre maior ou igual a zero. - Integral igual a 1: A área total sob a curva de
deve ser 1.
Passo 2
Primeiro, vamos checar a não-negatividade de
.
A função está definida como
para
e 0 para outros valores de
. Sabemos que:
-
é sempre positivo quando , porque qualquer potência de positivo continua sendo positiva. - O coeficiente
também precisa ser positivo para garantir que seja positivo.
Portanto, se
, então
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a integral de
de 1 até o infinito para garantir que seja igual a 1.
A integral fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Podemos simplificar a expressão:
A antiderivada de
é:
Então, substituindo os limites de integração:
Resposta
Assim, mostramos que
é uma função densidade válida, já que é não-negativa e sua integral de 1 até o infinito é igual a 1.