Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de:
d) Pelo menos uma ser defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo lâmpadas. No total, temos 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolhermos 5 lâmpadas ao acaso, pelo menos uma delas ser defeituosa. Para resolver isso, vamos usar princípios de combinatória e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos uma ser defeituosa”. Isso inclui qualquer situação em que haja uma ou mais lâmpadas defeituosas nas 5 escolhidas. Mas calcular diretamente todas essas possibilidades pode ser complicado. Uma estratégia mais fácil é calcular a probabilidade do evento contrário e subtrair de 1. Ou seja, vamos calcular a probabilidade de todas as 5 lâmpadas serem boas e depois subtrair esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o número total de maneiras de escolher 5 lâmpadas de um total de 60. Isso é dado pela combinação:
C60,5 = 60!5!(60-5)!
Onde representa o número de combinações de elementos tomados a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o n��mero de maneiras de escolher 5 lâmpadas que sejam todas boas. Temos 50 lâmpadas boas, então:
C50,5 = 50!5!(50-5)!

Passo 5

A probabilidade de todas as 5 lâmpadas serem boas é a razão entre o número de maneiras de escolher 5 boas lâmpadas e o número total de maneiras de escolher qualquer 5 lâmpadas:
P(todas boas) = C50,5C60,5

Passo 6

Finalmente, a probabilidade de pelo menos uma lâmpada ser defeituosa é 1 menos a probabilidade de todas serem boas:
P(pelo menos uma defeituosa) = 1 - P(todas boas) = 1 - C50,5C60,5

Resposta

Calculando os valores:
C60,5 = 5.461.512 C50,5 = 2.118.760 P(pelo menos uma defeituosa) = 1 - 2.118.7605.461.512 approx 1 - 0,3887 = 0,6113
Portanto, a probabilidade de que pelo menos uma das 5 lâmpadas escolhidas seja defeituosa é aproximadamente 61,13%.

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