Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de:
c) 2 serem boas e 3 defeituosas?
c) 2 serem boas e 3 defeituosas?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um lote de 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. A gente vai escolher 5 lâmpadas de forma aleatória e quer saber a probabilidade de, exatamente, 2 serem boas e 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que lida com as maneiras de escolher elementos de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular essas combinações. Quando queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um grupo de itens de um total, usamos a combinação, que é representada por:
Aqui,
é o total de itens e
é a quantidade que queremos escolher. O símbolo “!” significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 3
Agora, vamos calcular as combinações para cada parte do problema. Primeiro, queremos escolher 2 lâmpadas boas das 50 disponíveis. Isso é:
Passo 4
Em seguida, precisamos escolher 3 lâmpadas defeituosas das 10 disponíveis. Calculando isso:
Passo 5
Agora, para encontrar o número total de maneiras de escolher 5 lâmpadas de um total de 60, calculamos:
Passo 6
Com todas essas combinações calculadas, a probabilidade de exatamente 2 lâmpadas serem boas e 3 serem defeituosas é o produto das combinações das boas e defeituosas dividido pela combinação total. Ou seja:
Resposta
A probabilidade de exatamente 2 lâmpadas serem boas e 3 serem defeituosas é aproximadamente 2,7%.
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a) Todas serem boas?
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b) Todas serem defeituosas?
b) Todas serem defeituosas?
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d) Pelo menos uma ser defeituosa?
d) Pelo menos uma ser defeituosa?
Baseado nos dados abaixo você diria que houve melhora na produção? Justifique.
Dados: e
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Dados: