Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de:
c) 2 serem boas e 3 defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um lote de 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. A gente vai escolher 5 lâmpadas de forma aleatória e quer saber a probabilidade de, exatamente, 2 serem boas e 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que lida com as maneiras de escolher elementos de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular essas combinações. Quando queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um grupo de itens de um total, usamos a combinação, que é representada por:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aqui, é o total de itens e é a quantidade que queremos escolher. O símbolo “!” significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Agora, vamos calcular as combinações para cada parte do problema. Primeiro, queremos escolher 2 lâmpadas boas das 50 disponíveis. Isso é:
C(50, 2) = 50!2!(50-2)! = 50 times 492 times 1 = 1225

Passo 4

Em seguida, precisamos escolher 3 lâmpadas defeituosas das 10 disponíveis. Calculando isso:
C(10, 3) = 10!3!(10-3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120

Passo 5

Agora, para encontrar o número total de maneiras de escolher 5 lâmpadas de um total de 60, calculamos:
C(60, 5) = 60!5!(60-5)! = 5,461,512

Passo 6

Com todas essas combinações calculadas, a probabilidade de exatamente 2 lâmpadas serem boas e 3 serem defeituosas é o produto das combinações das boas e defeituosas dividido pela combinação total. Ou seja:
P = C(50, 2) times C(10, 3)C(60, 5) = 1225 times 1205,461,512 approx 0.027

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 lâmpadas serem boas e 3 serem defeituosas é aproximadamente 2,7%.

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