Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. 5 Iâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) todas serem boas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lote com 60 lâmpadas, das quais 50 são boas e 10 são defeituosas. Queremos saber a probabilidade de, ao escolher 5 lâmpadas de forma aleatória e sem colocar de volta, todas serem boas. Aqui, vamos usar probabilidade combinatória, que envolve contar de quantas maneiras podemos escolher os itens.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular quantas formas existem para escolher 5 lâmpadas boas dentre as 50 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que é uma forma de contar quantas seleções diferentes podemos fazer sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • é o total de itens,
  • é o número de itens que queremos escolher,
  • representa o fatorial, ou seja, o produto de todos os números inteiros positivos até ele.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o número de maneiras de escolher 5 lâmpadas boas dos 50:
C(50, 5) = 50!5!(50 - 5)! = 50!5! cdot 45!
Depois, calculamos o número total de maneiras de escolher qualquer 5 lâmpadas das 60:
C(60, 5) = 60!5!(60 - 5)! = 60!5! cdot 55!

Passo 4

A probabilidade de todas as 5 lâmpadas serem boas é a razão entre o número de maneiras de escolher 5 boas lâmpadas e o número total de maneiras de escolher 5 lâmpadas qualquer. Então:
P = C(50, 5)C(60, 5) = 50!5! cdot 45!60!5! cdot 55! = 50! cdot 55!60! cdot 45!
Podemos simplificar essa expressão cancelando os fatoriais que se repetem:
P = 50 times 49 times 48 times 47 times 4660 times 59 times 58 times 57 times 56

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor numérico:
P = 50 times 49 times 48 times 47 times 4660 times 59 times 58 times 57 times 56
Calculando o numerador:
50 times 49 = 2450 2450 times 48 = 117600 117600 times 47 = 5527200 5527200 times 46 = 254251200
Calculando o denominador:
60 times 59 = 3540 3540 times 58 = 205320 205320 times 57 = 11703240 11703240 times 56 = 655381440
Finalmente, a probabilidade é:
P = 254251200655381440 approx 0,3876

Resposta

A probabilidade de todas as 5 lâmpadas escolhidas serem boas é aproximadamente 38,76%.

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