Um lote de parafusos contém 10 % de itens defeituosos. Se 15 parafusos forem selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de que 2 sejam defeituosos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A gente tem um lote de parafusos onde 10% são defeituosos. A pergunta é: se a gente selecionar 15 parafusos de forma aleatória, qual a chance de exatamente 2 deles serem defeituosos? Vamos usar conhecimentos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade binomial. Esse tipo de probabilidade é usado quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, selecionar 15 parafusos), cada uma com duas possíveis saídas: “sucesso” (parafuso defeituoso) ou “fracasso” (parafuso bom). A gente quer saber a probabilidade de um certo número de sucessos ocorrer.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é a seguinte:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos.
  • é o número de combinações de itens tomados a .
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.
  • é o número de sucessos desejados.

Passo 4

Vamos identificar os valores para nossa situação:
  • binom152 = 15!2! cdot (15 - 2)! = 15 times 142 times 1 = 105 (total de parafusos selecionados)
  • (parafusos defeituosos que queremos)
  • (10% de chance de um parafuso ser defeituoso)
Agora, vamos calcular o número de combinações :

Passo 5

Agora, vamos calcular p^k = 0,10^2 = 0,01 e (1 - p)^n - k = 0,90^13 approx 0,254 :

Passo 6

Finalmente, vamos multiplicar todos esses valores para encontrar a probabilidade:
P(2) = 105 times 0,01 times 0,254 approx 0,267

Resposta

A probabilidade de que exatamente 2 dos 15 parafusos sejam defeituosos é de aproximadamente 26,7%.

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