O lucro L de uma empresa é dado pela expressão L(n) = n² - 12n + 32, em que n representa a quantidade em milhares de produtos vendidos. Qual a quantidade de produtos, em milhares, no mínimo, que essa empresa tem que vender para que o seu lucro seja nulo?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 28
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 28
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o lucro da empresa dado por $ L(n) = n^2 - 12n + 32 $, onde $ n $ é a quantidade de produtos vendidos em milhares. A questão quer saber qual é a quantidade mínima de produtos que a empresa precisa vender para que o lucro seja zero. Vamos usar conceitos de equações quadráticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar quando o lucro é zero. Isso significa resolver a equação:
Passo 3
Essa é uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -12 $ e $ c = 32 $.
Passo 4
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 5
Como $ \Delta $ é positivo, a equação tem duas soluções reais. Vamos encontrar os valores de $ n $:
Passo 6
Calculando as duas soluções:
Passo 7
Agora, precisamos interpretar essas soluções. A empresa terá lucro zero vendendo 4 mil produtos ou 8 mil produtos. Porém, a questão pede a quantidade mínima que garante lucro não negativo. Observando a função quadrática, percebemos que ela abre para cima, o que significa que o lucro é positivo fora do intervalo entre 4 e 8. Portanto, para garantir um lucro igual ou maior que zero, a empresa precisa vender pelo menos 8 mil produtos.
Resposta
C) 8