Luís Quisito tem um grande cilindro cheio de hélio. Começa com um volume de 2 litros, uma pressão de e uma temperatura de . Ele diminui rapidamente o volume para um litro adiabaticamente. Então, ele espera que o gás esfrie de volta para neste volume de um litro. Finalmente, ele expande o pistão lentamente até 2 litros, de modo que a temperatura do gás permaneça constante em 300 K. Os três processos formam um ciclo. Desenho os processos em um diagrama PV. Calcule e para cada etapa do ciclo e para todo o ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro cheio de hélio que passa por três processos diferentes formando um ciclo termodinâmico. Precisamos desenhar esses processos em um diagrama PV e calcular as variações de energia interna (ΔU), calor (Q), trabalho (W) e variação de entropia (ΔS) para cada etapa e para todo o ciclo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica como processos adiabáticos, a volume constante e isotérmicos, além das propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três etapas do ciclo:
  1. Compressão adiabática: O volume do gás diminui de 2 litros para 1 litro rapidamente, sem troca de calor com o ambiente.
  2. Resfriamento a volume constante: O gás esfria de volta para 300 K mantendo o volume de 1 litro.
  3. Expansão isotérmica: O volume aumenta de volta para 2 litros mantendo a temperatura constante em 300 K.

Passo 3

Vamos calcular as grandezas termodinâmicas para cada etapa. Vamos considerar que estamos lidando com um gás ideal (hélio) e usar a constante dos gases .
Determinar o número de mols (n):
Primeiro, precisamos calcular o número de mols de hélio no cilindro inicialmente.
Onde:
Etapa 1: Compressão Adiabática (2 L → 1 L)
Como é um processo adiabático, não há troca de calor ( ).
A relação para processos adiabáticos de um gás ideal é:
Onde . Para o hélio, que é monoatômico, .
Encontrar a pressão final ( ):
Calcular o trabalho realizado ( ):
Variação da energia interna ( ):
Como :
Variação da entropia ( ):
Para processos adiabáticos reversíveis, .
Resumo da Etapa 1:

Passo 4

Etapa 2: Resfriamento a Volume Constante (1 L, T: aumento para 300 K)
Aqui, o volume permanece constante ( ), então o trabalho realizado é zero ( ).
Variação da energia interna ( ):
Para hélio (monoatômico):
Primeiro, precisamos encontrar após a compressão adiabática:
Então,
Calor transferido ( ):
Variação da entropia ( ):
Resumo da Etapa 2:

Passo 5

Etapa 3: Expansão Isotérmica (1 L → 2 L, T = 300 K)
Neste processo, a temperatura é mantida constante ( ), então a variação da energia interna é zero ( ).
Trabalho realizado ( ):
Calor transferido ( ):
Como :
Variação da entropia ( ):
Resumo da Etapa 3:

Passo 6

Análise do Ciclo Completo
Vamos somar as variações de cada etapa para encontrar as variações totais do ciclo.
  • Variação da energia interna total ( ):
    Porém, em um ciclo termodinâmico, a variação total da energia interna deve ser zero ( ). Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.
Na verdade, a variação de energia interna após a compressão adiabática deve ser igual ao aumento de temperatura, e após o resfriamento, retornar ao estado inicial. Portanto:
  • Correção:
    Após a compressão adiabática,
    No resfriamento,
    Na expansão isotérmica,
    Assim,
  • Calor total ( ):
  • Trabalho total ( ):
  • Variação total da entropia ( ):

Resposta

Após analisar todas as etapas do ciclo termodinâmico, obtemos as seguintes variações:
  • Para a Etapa 1: Compressão Adiabática
  • Para a Etapa 2: Resfriamento a Volume Constante
  • Para a Etapa 3: Expansão Isotérmica
  • Total do Ciclo
    • (conforme a primeira lei da termodinâmica)
Isso mostra que, em um ciclo termodinâmico completo, a energia interna total retorna ao estado inicial ( ), e a entropia também não varia ( ), conforme esperado para um ciclo reversível.

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