Luz branca que contem comprimentos de onda entre 410 nme 750 nm incide em uma grade de difração que tem 7800 linhas / cm. Qual é a largura do espectro a primeira ordem observado em uma tela localizada a 2.8 m de distância?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos luz branca com comprimentos de onda que variam de 410 nm a 750 nm incidindo em uma grade de difração que possui 7800 linhas por centímetro. Precisamos encontrar a largura do espectro na primeira ordem que será observada em uma tela a 2,8 metros de distância. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de difração de luz e a fórmula das grades de difração.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter o número de linhas por centímetro para a distância entre as linhas da grade de difração, que é chamada de espaçamento da grade ( d). Sabemos que:
d = 1número de linhas por unidade de comprimento ú
Dado que a grade tem 7800 linhas por centímetro:
d = 17800 , linhas/cm = 17800 times 10^2 , linhas/m = 17.8 times 10^5 , linhas/m approx 1.282 times 10^-6 , m

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da grade de difração para encontrar os ângulos correspondentes aos comprimentos de onda extremos (410 nm e 750 nm) na primeira ordem ( m=1):
d sintheta = m lambda
Para lambda1 = 410 , nm = 410 times 10^-9 , m:
sintheta1 = m lambda1d = 1 times 410 times 10^-91.282 times 10^-6 approx 0.319
theta1 = arcsin(0.319) approx 18.62^circ
Para lambda2 = 750 , nm = 750 times 10^-9 , m:
sintheta2 = m lambda2d = 1 times 750 times 10^-91.282 times 10^-6 approx 0.585
theta2 = arcsin(0.585) approx 35.89^circ

Passo 4

A largura do espectro na tela depende da diferença nos ângulos dos comprimentos de onda extremos e da distância ( L) da grade à tela. Podemos usar a fórmula de projeção linear:
De
Calculando tantheta1 e tantheta2:
tan18.62^circ approx 0.337
tan35.89^circ approx 0.723
Então:
De

Resposta

A largura do espectro na primeira ordem observada na tela é aproximadamente 1,08 metros.

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