Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um poste de luz de 6 metros de altura e um homem de 2 metros andando longe do poste a 1,5 metros por segundo. A questão pede para descobrir quão rápido está se movendo a ponta da sombra dele quando ele está a 10 metros do poste. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria com triângulos semelhantes e cálculo de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: o poste de luz lança uma sombra do homem no chão. Como a luz vem do topo do poste, formam-se dois triângulos semelhantes—um grande formado pelo poste e a ponta da sombra, e outro menor formado pelo homem e a ponta da sombra.

Passo 3

Vamos chamar de $ x $ a distância do homem ao poste e de $ y $ a distância da ponta da sombra ao poste. Sabemos que o homem está andando a uma velocidade de $ \frac{dx}{dt} = 1,5 , m/s $.

Passo 4

Como os triângulos são semelhantes, podemos escrever a proporção entre as alturas e as bases:
Aâ
Ou seja:
6y = 2y - x

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ y $:
y

Passo 6

Agora, queremos encontrar a velocidade da ponta da sombra, que é $ \frac{dy}{dt} $. Vamos derivar $ y $ em relação ao tempo $ t $:
dydt
Substituindo $ \frac{dx}{dt} = 1,5 , m/s $:
y

Resposta

A ponta da sombra está se movendo a uma velocidade de 2,25 metros por segundo quando o homem está a 10 metros do poste.

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