Determine a massa de um fio com a forma da curva , se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de massa usando integrais de linha. A gente precisa encontrar a massa de um fio que segue a curva no intervalo de . A densidade do fio em cada ponto é o quadrado da coordenada . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha, e entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma função que relaciona diretamente com o logaritmo natural de . Nosso intervalo de é de até . Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade ao longo dessa curva.
Passo 3
A massa de um fio ao longo de uma curva é dada pela integral:
Aqui, é a densidade no ponto , que no nosso caso é .
Passo 4
Vamos parametrizar a curva para facilitar a integração. Como a curva é , podemos usar como nosso parâmetro. Ou seja, podemos escrever variando de até , e .
Passo 5
Agora, precisamos expressar o elemento de arco em termos de . A fórmula para quando é uma função de é:
Vamos calcular .
Passo 6
A derivada de em relação a é:
Então, substituindo na fórmula do :
Passo 7
Agora, vamos substituir e na integral da massa:
Vamos simplificar a expressão sob a raiz:
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja: