Determine a massa de um fio com a forma da curva , se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de massa usando integrais de linha. A gente precisa encontrar a massa de um fio que segue a curva no intervalo de . A densidade do fio em cada ponto é o quadrado da coordenada . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha, e entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma função que relaciona diretamente com o logaritmo natural de . Nosso intervalo de é de até . Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade ao longo dessa curva.

Passo 3

A massa de um fio ao longo de uma curva é dada pela integral:
Aqui, é a densidade no ponto , que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva para facilitar a integração. Como a curva é , podemos usar como nosso parâmetro. Ou seja, podemos escrever variando de até , e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar o elemento de arco em termos de . A fórmula para quando é uma função de é:
Vamos calcular .

Passo 6

A derivada de em relação a é:
Então, substituindo na fórmula do :

Passo 7

Agora, vamos substituir e na integral da massa:
Vamos simplificar a expressão sob a raiz:
Então, a integral fica:

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Mas vamos reorganizar a integral:

Passo 9

Calculando a integral:
Voltando para :

Passo 10

Agora, vamos avaliar os limites de integração:
Para :
Para :
Substituindo na expressão da massa:

Resposta

A massa do fio é unidades de massa.

Exercícios relacionados

Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere .
(a) Parametrize a curva .
com . Suponha que uma única vez eque varre todo o domínio dos parâmetros. Assim, a área de é dada por
onde e . Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .
Calcule
d) e é a curva formada pela interseção da superfície de equação com o cilindro .