M=integralC de
Determine a massa de um fio com a forma da curva y=ln x, com raiz3 <= x <= raiz8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de massa usando integrais de linha. A gente precisa encontrar a massa de um fio que segue a curva no intervalo de . A densidade do fio em cada ponto é o quadrado da coordenada . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha, e entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma função que relaciona diretamente com o logaritmo natural de . Nosso intervalo de é de até . Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade ao longo dessa curva.

Passo 3

A massa M = integralC de de um fio ao longo de uma curva é dada pela integral:
Aqui, é a densidade no ponto , que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva para facilitar a integração. Como a curva é , podemos usar como nosso parâmetro. Ou seja, podemos escrever variando de até , e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar o elemento de arco ds = raiz1 + ( dydx )^2 , dx em termos de . A fórmula para quando é uma função de é:
Vamos calcular .

Passo 6

A derivada de dydx = 1x em relação a ds = raiz1 + ( 1x )^2 , dx = raiz1 + 1x^2 , dx é:
Então, substituindo na fórmula do :

Passo 7

Agora, vamos substituir M = integralraiz3^raiz8 x^2 cdot raiz1 + 1x^2 , dx e raiz1 + 1x^2 = raizx^2 + 1x na integral da massa:
M = integralraiz3^raiz8 x^2 cdot raizx^2 + 1x , dx = integralraiz3^raiz8 x cdot raizx^2 + 1 , dx
Vamos simplificar a expressão sob a raiz:
Então, a integral fica:

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
u = x^2 + 1 Rightarrow dudx = 2x Rightarrow dx = du2x
Mas vamos reorganizar a integral:
integral x cdot raizu cdot du2x = 12 integral raizu , du

Passo 9

Calculando a integral:
12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Voltando para M = 13 (x^2 + 1)^3/2 g|raiz3^raiz8 :

Passo 10

Agora, vamos avaliar os limites de integração:
Para (raiz8)^2 + 1 = 8 + 1 = 9 Rightarrow 9^3/2 = 27 :
(raiz3)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 Rightarrow 4^3/2 = 8
Para M = 13 (27 - 8) = 13 times 19 = 193 :
Substituindo na expressão da massa:

Resposta

A massa do fio é unidades de massa.

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