Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o centro de massa de um fio que está parametrizado por para . A densidade linear do fio é dada por . Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do centro de massa para curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
O centro de massa de um objeto contínuo é calculado pelas seguintes integrais:
M = integralC de
onde é a massa total do fio dada por:
Passo 3
Para resolver essas integrais, precisamos parametrizar o fio. Dado que ds = |r,'(t)| , dt = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 , dt = raiz3 , dt , para , temos:
Também precisamos calcular o elemento de comprimento . Isso é dado pela norma do vetor derivada de :
Passo 4
Agora, substituímos as expressões na fórmula da massa M = integral0^1 de:
M = raiz3 [ t^44 ]0^1 = raiz3 ( 14 - 0 ) = raiz34
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, calculamos as coordenadas do centro de massa. Por exemplo, para M x = integral0^1 x de:
M x = raiz3 [ t^55 ]0^1 = raiz3 ( 15 - 0 ) = raiz35
Calculando a integral:
y = x e z = x
Similarmente, como as coordenadas e são iguais a , temos:
Passo 6
Finalmente, calculamos x = M xM = raiz35raiz34 = 45 = 0,8 , y = 0,8 e z = 0,8 e :