Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o centro de massa de um fio que está parametrizado por para . A densidade linear do fio é dada por . Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do centro de massa para curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

O centro de massa de um objeto contínuo é calculado pelas seguintes integrais:
onde é a massa total do fio dada por:

Passo 3

Para resolver essas integrais, precisamos parametrizar o fio. Dado que , para , temos:
Também precisamos calcular o elemento de comprimento . Isso é dado pela norma do vetor derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos as expressões na fórmula da massa :
Calculando a integral:

Passo 5

Agora, calculamos as coordenadas do centro de massa. Por exemplo, para :
Calculando a integral:
Similarmente, como as coordenadas e são iguais a , temos:

Passo 6

Finalmente, calculamos , e :
Portanto,

Resposta

O centro de massa do fio é .

Exercícios relacionados

e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere .
(a) Parametrize a curva .
(a) , onde C é o gráfico da função , com ;
Determine a massa de um fio com a forma da curva , se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.
com . Suponha que uma única vez eque varre todo o domínio dos parâmetros. Assim, a área de é dada por
onde e . Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .