Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o centro de massa de um fio que está parametrizado por para . A densidade linear do fio é dada por . Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do centro de massa para curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
O centro de massa de um objeto contínuo é calculado pelas seguintes integrais:
onde é a massa total do fio dada por:
Passo 3
Para resolver essas integrais, precisamos parametrizar o fio. Dado que , para , temos:
Também precisamos calcular o elemento de comprimento . Isso é dado pela norma do vetor derivada de :
Passo 4
Agora, substituímos as expressões na fórmula da massa :
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, calculamos as coordenadas do centro de massa. Por exemplo, para :
Calculando a integral:
Similarmente, como as coordenadas e são iguais a , temos: