com . Suponha que uma única vez eque varre todo o domínio dos parâmetros. Assim, a área de é dada por
onde e . Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área total de um cilindro, incluindo a base e o topo, com raio 2 e altura 5. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de superfícies e integração dupla. Precisamos entender como parametrizar o cilindro e aplicar a fórmula da área dada:

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. Um cilindro pode ser descrito em coordenadas cilíndricas, mas como estamos usando parametrização geral, vamos definir para cobrir toda a superfície do cilindro, incluindo a base e o topo.
Para o cilindro de raio 2 e altura 5, podemos parametrizar da seguinte forma:
  • : vai de a (ângulo ao redor do eixo)
  • : vai de a (altura do cilindro)
Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais e :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma desse vetor:

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral para a área lateral do cilindro:
Como vai de a e vai de a , a área lateral é:

Passo 7

Agora, precisamos adicionar as áreas da base e do topo do cilindro. Cada base é um círculo de raio 2, então a área de uma base é:
Como temos duas bases (base e topo), a área total das bases é:

Passo 8

Finalmente, somamos a área lateral com a área das bases para obter a área total do cilindro:

Resposta

A área total do cilindro é unidades quadradas.

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Determine a massa de um fio com a forma da curva , se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.
Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .
Calcule
d) e é a curva formada pela interseção da superfície de equação com o cilindro .
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
b)