r(u, v)=x(u, v) i+y(u, v) j+z(u, v) k
com (u, v) in D. Suponha que S uma única vez eque (u, v) varre todo o domínio D dos parâmetros. Assim, a área de S é dada por
A(S)=integral duplaD|ru times rv| d A
onde ru=partial rpartial u e rv=partial rpartial v. Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área total de um cilindro, incluindo a base e o topo, com raio 2 e altura 5. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de superfícies e integração dupla. Precisamos entender como parametrizar o cilindro e aplicar a fórmula da área dada:
A(S)=integral duplaD|ru times rv| dA

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. Um cilindro pode ser descrito em coordenadas cilíndricas, mas como estamos usando parametrização geral, vamos definir r(u, v) para cobrir toda a superfície do cilindro, incluindo a base e o topo.
Para o cilindro de raio 2 e altura 5, podemos parametrizar da seguinte forma:
  • u: vai de 0 a 2pi (ângulo ao redor do eixo)
  • v: vai de 0 a 5 (altura do cilindro)
Então, a parametrização fica:
r(u, v) = 2cos(u)i + 2sin(u)j + vk

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais ru e rv:
  • Derivada de r em relação a u:
    ru = partial rpartial u = -2sin(u)i + 2cos(u)j + 0k
  • Derivada de r em relação a v:
    rv = partial rpartial v = 0i + 0j + 1k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv:
ru times rv = i & j & k -2sin(u) & 2cos(u) & 0 0 & 0 & 1
Calculando o determinante:
ru times rv = (2cos(u)cdot1 - 0cdot0)i - (-2sin(u)cdot1 - 0cdot0)j + (-2sin(u)cdot0 - 2cos(u)cdot0)k
Simplificando:
ru times rv = 2cos(u)i + 2sin(u)j + 0k

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma desse vetor:
|ru times rv| = raiz(2cos(u))^2 + (2sin(u))^2 + 0^2 = raiz4cos^2(u) + 4sin^2(u) = raiz4(cos^2(u) + sin^2(u)) = raiz4 = 2

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral para a área lateral do cilindro:
Alateral = integral duplaD 2 , dA
Como u vai de 0 a 2pi e v vai de 0 a 5, a área lateral é:
Alateral = integral0^5 integral0^2pi 2 , du , dv = 2 integral0^5 ( integral0^2pi du ) dv = 2 integral0^5 2pi , dv = 4pi integral0^5 dv = 4pi cdot 5 = 20pi

Passo 7

Agora, precisamos adicionar as áreas da base e do topo do cilindro. Cada base é um círculo de raio 2, então a área de uma base é:
Abase = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi
Como temos duas bases (base e topo), a área total das bases é:
Abases = 2 cdot 4pi = 8pi

Passo 8

Finalmente, somamos a área lateral com a área das bases para obter a área total do cilindro:
Atotal = Alateral + Abases = 20pi + 8pi = 28pi

Resposta

A área total do cilindro é 28pi unidades quadradas.

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