com . Suponha que uma única vez eque varre todo o domínio dos parâmetros. Assim, a área de é dada por
onde e . Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área total de um cilindro, incluindo a base e o topo, com raio 2 e altura 5. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de superfícies e integração dupla. Precisamos entender como parametrizar o cilindro e aplicar a fórmula da área dada:
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. Um cilindro pode ser descrito em coordenadas cilíndricas, mas como estamos usando parametrização geral, vamos definir para cobrir toda a superfície do cilindro, incluindo a base e o topo.
Para o cilindro de raio 2 e altura 5, podemos parametrizar da seguinte forma:
: vai de a (ângulo ao redor do eixo)
: vai de a (altura do cilindro)
Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais e :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a norma desse vetor:
Passo 6
Agora, podemos configurar a integral para a área lateral do cilindro:
Como vai de a e vai de a , a área lateral é:
Passo 7
Agora, precisamos adicionar as áreas da base e do topo do cilindro. Cada base é um círculo de raio 2, então a área de uma base é:
Como temos duas bases (base e topo), a área total das bases é:
Passo 8
Finalmente, somamos a área lateral com a área das bases para obter a área total do cilindro: