e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere
.
(a) Parametrize a curva
.
(a) Parametrize a curva
Passo 1
Então, a gente tem duas superfícies no espaço tridimensional,
e
. A tarefa é encontrar uma parametrização para a curva
que resulta da interseção dessas duas superfícies. Vamos precisar entender como essas superfícies se relacionam e usar um pouco de álgebra para encontrar a forma dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das superfícies:
-
é uma parábola de duas variáveis que abre para baixo, com o vértice no ponto (0, 0, 2). -
é uma parábola no plano .
Para encontrar a curva de interseção
, vamos combinar essas duas equações.
Passo 3
Substituímos a equação de
na equação de
para eliminar a variável
:
Agora, temos
em termos de
.
Passo 4
Para parametrizar a curva, vamos usar
como nosso parâmetro
. Então, definimos:
Com isso, podemos expressar
usando a equação de
:
E
já temos em termos de
:
Resposta
A parametrização da curva
é:
Exercícios relacionados
(a)
, onde C é o gráfico da função
, com
;
(d) Como
, a série
converge para 1 .
Calcule o centro de massa do fio
parametrizado por
, com
, com densidade linear
.
Determine a massa de um fio com a forma da curva
, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.