e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere .
(a) Parametrize a curva .

Passo 1

Então, a gente tem duas superfícies no espaço tridimensional, e . A tarefa é encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Vamos precisar entender como essas superfícies se relacionam e usar um pouco de álgebra para encontrar a forma dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das superfícies:
  • é uma parábola de duas variáveis que abre para baixo, com o vértice no ponto (0, 0, 2).
  • é uma parábola no plano .
Para encontrar a curva de interseção , vamos combinar essas duas equações.

Passo 3

Substituímos a equação de na equação de para eliminar a variável :
Agora, temos em termos de .

Passo 4

Para parametrizar a curva, vamos usar como nosso parâmetro . Então, definimos:
Com isso, podemos expressar usando a equação de :
E já temos em termos de :

Resposta

A parametrização da curva é:

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(a) , onde C é o gráfico da função , com ;
(d) Como , a série converge para 1 .
Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .
Determine a massa de um fio com a forma da curva , se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.