Para
, definimos uma nova função
da seguinte forma:
é a área sob o gráfico da função
, de 0 até
.
(a) Para
e
positivos, faça um esboço da região representada por
;
(b) Usando seu esboço, verifique que
© Usando o item anterior, determine
através de um limite.
(a) Para
(b) Usando seu esboço, verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que representa a área sob o gráfico de
de 0 até
. Estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Para resolver os itens (a), (b) e ©, vamos precisar entender como visualizar áreas sob curvas, usar desigualdades envolvendo funções e derivadas, e aplicar limites para encontrar a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos ao item (a). Queremos esboçar a região representada por
para
e
positivos. Isso basicamente significa olhar para a área sob a curva de
entre
e
. Imagine que
é a área de 0 até
. Então,
é a área adicional de
até
.
Passo 3
Agora, no item (b), vamos usar nosso esboço para verificar a desigualdade:
O que isso quer dizer é que a área entre
e
está entre duas retas retangulares. A altura da primeira é
e a da segunda é
, multiplicadas pela base
. Isso nos dá uma forma de “aproximar” a área usando retângulos, o que é útil para encontrar derivadas.
Passo 4
Chegamos ao item ©. Queremos determinar
, que é a derivada de
. Com base na desigualdade que mostramos no passo anterior, podemos aplicar o limite conforme
tende a 0:
Usando a desigualdade
e sabendo que
, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de
. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, temos que:
Resposta
A derivada
é igual a
.