Para x >= 0, definimos uma nova função F(x) da seguinte forma: F(x) é a área sob o gráfico da função f(t) = 1/(t+1), de 0 até x.
(a) Para x e h positivos, faça um esboço da região representada por F(x+h) - F(x);
(b) Usando seu esboço, verifique que
h * f(x) > F(x+h) - F(x) > h * f(x+h)
© Usando o item anterior, determine F'(x) através de um limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que representa a área sob o gráfico de de 0 até . Estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Para resolver os itens (a), (b) e ©, vamos precisar entender como visualizar áreas sob curvas, usar desigualdades envolvendo funções e derivadas, e aplicar limites para encontrar a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos ao item (a). Queremos esboçar a região representada por para e positivos. Isso basicamente significa olhar para a área sob a curva de entre e . Imagine que é a área de 0 até . Então, é a área adicional de até .

Passo 3

Agora, no item (b), vamos usar nosso esboço para verificar a desigualdade:
O que isso quer dizer é que a área entre e está entre duas retas retangulares. A altura da primeira é e a da segunda é , multiplicadas pela base . Isso nos dá uma forma de “aproximar” a área usando retângulos, o que é útil para encontrar derivadas.

Passo 4

Chegamos ao item ©. Queremos determinar , que é a derivada de . Com base na desigualdade que mostramos no passo anterior, podemos aplicar o limite conforme tende a 0:
Usando a desigualdade e sabendo que , quando se aproxima de 0, também se aproxima de . Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, temos que:

Resposta

A derivada é igual a .

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