Prove as seguintes identidades:
sen(a) sen(b)=12[cos (a-b)-cos (a+b)] e cos (a) cos (b)=12[cos (a+b)+cos (a-b)]
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a) integral sen(2 x) sen(3 x) d x
(b) integral cos (5 x) cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema pede para provar duas identidades trigonométricas e depois usar elas para calcular duas integrais. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo integral. Vamos precisar entender as fórmulas de produto para soma e como aplicar integrais básicas.

Passo 2

Vamos começar provando a primeira identidade:
sen(a) sen(b) = 12[cos(a - b) - cos(a + b)]
Para provar isso, usamos a fórmula do produto para seno:
sen(a) sen(b) = 12[cos(a - b) - cos(a + b)]
Essa fórmula transforma o produto de senos em uma combinação de cossenos, o que facilita a integração depois.

Passo 3

Agora, vamos provar a segunda identidade:
cos(a) cos(b) = 12[cos(a + b) + cos(a - b)]
Aqui, utilizamos a fórmula do produto para cosseno:
cos(a) cos(b) = 12[cos(a + b) + cos(a - b)]
Essa transformação também é útil para resolver integrais envolvendo produtos de cossenos.

Passo 4

Com as identidades provadas, vamos calcular a primeira integral:
integral sen(2x) sen(3x) dx
Usando a identidade que acabamos de provar:
sen(2x) sen(3x) = 12[cos(2x - 3x) - cos(2x + 3x)] = 12[cos(-x) - cos(5x)] = 12[cos(x) - cos(5x)]

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
integral sen(2x) sen(3x) dx = 12 integral [cos(x) - cos(5x)] dx
Vamos integrar termo a termo:
12 ( integral cos(x) dx - integral cos(5x) dx )
Sabemos que:
integral cos(kx) dx = 1k sin(kx) + C

Passo 6

Aplicando as integrais:
12 ( sin(x) - 15 sin(5x) ) + C
Simplificando:
12 sin(x) - 110 sin(5x) + C

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral cos(5x) cos(x) dx
Usando a segunda identidade que provamos:
cos(5x) cos(x) = 12[cos(5x + x) + cos(5x - x)] = 12[cos(6x) + cos(4x)]

Passo 8

Substituindo na integral:
integral cos(5x) cos(x) dx = 12 integral [cos(6x) + cos(4x)] dx
Vamos integrar cada termo:
12 ( integral cos(6x) dx + integral cos(4x) dx )
Usando a integração de cosseno:
integral cos(kx) dx = 1k sin(kx) + C

Passo 9

Aplicando as integrais:
12 ( 16 sin(6x) + 14 sin(4x) ) + C
Simplificando:
112 sin(6x) + 18 sin(4x) + C

Resposta

(a)
integral sen(2x) sen(3x) dx = 12 sin(x) - 110 sin(5x) + C
(b)
integral cos(5x) cos(x) dx = 112 sin(6x) + 18 sin(4x) + C

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