Prove as seguintes identidades:
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a)
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema pede para provar duas identidades trigonométricas e depois usar elas para calcular duas integrais. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo integral. Vamos precisar entender as fórmulas de produto para soma e como aplicar integrais básicas.

Passo 2

Vamos começar provando a primeira identidade:
Para provar isso, usamos a fórmula do produto para seno:
Essa fórmula transforma o produto de senos em uma combinação de cossenos, o que facilita a integração depois.

Passo 3

Agora, vamos provar a segunda identidade:
Aqui, utilizamos a fórmula do produto para cosseno:
Essa transformação também é útil para resolver integrais envolvendo produtos de cossenos.

Passo 4

Com as identidades provadas, vamos calcular a primeira integral:
Usando a identidade que acabamos de provar:

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:

Passo 6

Aplicando as integrais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral:
Usando a segunda identidade que provamos:

Passo 8

Substituindo na integral:
Vamos integrar cada termo:
Usando a integração de cosseno:

Passo 9

Aplicando as integrais:
Simplificando:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Para , definimos uma nova função da seguinte forma: é a área sob o gráfico da função , de 0 até .
(a) Para e positivos, faça um esboço da região representada por ;
(b) Usando seu esboço, verifique que
© Usando o item anterior, determine através de um limite.
Desenhe o conjunto e calcule a sua área:
(a) é a região compreendida entre os gráficos de e , com ;
(b) é o conjunto do plano limitado pelas retas e por ;
© e ;
(d) é o conjunto do plano limitado pelo eixo , pelo gráfico de , sendo ;
(e) é a região delimitada pelas curvas e .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Use a parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) .