Prove as seguintes identidades:
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema pede para provar duas identidades trigonométricas e depois usar elas para calcular duas integrais. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo integral. Vamos precisar entender as fórmulas de produto para soma e como aplicar integrais básicas.
Passo 2
Vamos começar provando a primeira identidade:
Para provar isso, usamos a fórmula do produto para seno:
Essa fórmula transforma o produto de senos em uma combinação de cossenos, o que facilita a integração depois.
Passo 3
Agora, vamos provar a segunda identidade:
Aqui, utilizamos a fórmula do produto para cosseno:
Essa transformação também é útil para resolver integrais envolvendo produtos de cossenos.
Passo 4
Com as identidades provadas, vamos calcular a primeira integral:
Usando a identidade que acabamos de provar:
Passo 5
Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Passo 6
Aplicando as integrais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Usando a segunda identidade que provamos:
Passo 8
Substituindo na integral:
Vamos integrar cada termo:
Usando a integração de cosseno:
Passo 9
Aplicando as integrais:
Simplificando:
Resposta
(a)
(b)