Seja F(x)=integral2^2 x 1ln t d t
(a) Determine F^prime(e2)
(b) F é crescente ou decrescente?
© O que podemos dizer sobre a concavidade de seu gráfico?
(d) Desafio: Esboce o gráfico de F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo integral e diferenciação, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral e analisar o comportamento da função em termos de crescimento e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a): determinar F(x) = integral2^2x 1ln t , dt .
A função dada é:
F(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt
Para encontrar a derivada de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) em relação a F'(x) = 1ln(2x) cdot 2 - 0 = 2ln(2x) , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos diz que se temos:
F'(e2) = 2ln(2 cdot e2) = 2ln e
Então,
F'(e2) = 21 = 2
No nosso caso, (uma constante) e . Então, e .
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos substituir :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, na parte (b): determinar se F'(x) = 2ln(2x) é crescente ou decrescente.
Olhemos para a derivada que achamos:
Para saber se a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de :
  • O denominador é positivo quando (já que e cresce depois disso).
  • Como está no intervalo onde o logaritmo é definido (ou seja, , mas está começando de 2, então ).
Portanto, , então para os valores considerados.
Isso significa que a função é crescente.

Passo 4

Na parte ©: analisar a concavidade do gráfico de F'(x) = 2ln(2x) .
Para isso, precisamos da segunda derivada de F''(x) = ddx ( 2ln(2x) ) .
Começamos com:
F''(x) = 2 cdot - ddx [ln(2x)] [ln(2x)]^2
Vamos derivar novamente em relação a ddx [ln(2x)] = 22x = 1x :
F''(x) = 2 cdot - 1x [ln(2x)]^2 = -2x [ln(2x)]^2
Usamos a regra do quociente:
Calculando a derivada de :
Portanto:
Analisando o sinal de :
  • O numerador é negativo.
  • O denominador é positivo (já que e ).
Então, , o que indica que o gráfico de é côncavo para baixo.

Resposta

(a)
(b) A função é crescente.
© O gráfico de é côncavo para baixo.

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