Seja
(a) Determine
(b)
é crescente ou decrescente?
© O que podemos dizer sobre a concavidade de seu gráfico?
(d) Desafio: Esboce o gráfico de
.
(a) Determine
(b)
© O que podemos dizer sobre a concavidade de seu gráfico?
(d) Desafio: Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo integral e diferenciação, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral e analisar o comportamento da função em termos de crescimento e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a): determinar
.
A função dada é:
Para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos diz que se temos:
Então,
No nosso caso,
(uma constante) e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos substituir
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, na parte (b): determinar se
é crescente ou decrescente.
Olhemos para a derivada que achamos:
Para saber se a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
- O denominador
é positivo quando (já que e cresce depois disso). - Como
está no intervalo onde o logaritmo é definido (ou seja, , mas está começando de 2, então ).
Portanto,
, então
para os valores considerados.
Isso significa que a função
é crescente.
Passo 4
Na parte ©: analisar a concavidade do gráfico de
.
Para isso, precisamos da segunda derivada de
.
Começamos com:
Vamos derivar novamente em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Calculando a derivada de
:
Portanto:
Analisando o sinal de
:
- O numerador é negativo.
- O denominador é positivo (já que
e ).
Então,
, o que indica que o gráfico de
é côncavo para baixo.
Resposta
(a)
(b) A função
é crescente.
© O gráfico de
é côncavo para baixo.