Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida deve ser diferente do próprio nome é:
Passo 1
Então, o enunciado fala que a Manoela quer criar uma senha para o e-mail dela trocando as letras do próprio nome. A matéria que vamos usar aqui é arranjo ou permutação de letras, especialmente considerando que algumas letras se repetem. Vamos precisar saber como calcular quantas formas diferentes podemos organizar as letras de uma palavra, levando em conta repetições.
Passo 2
Primeiro, vamos ver quantas letras tem o nome “Manoela”. Temos as letras: M, A, N, O, E, L, A. Ou seja, 7 letras no total. Mas atenção: a letra “A” aparece duas vezes. Quando temos letras repetidas, não podemos simplesmente usar 7! para calcular as permutações, porque isso contaria arranjos que, na verdade, são iguais.
Passo 3
A fórmula para calcular as permutações de um conjunto com elementos repetidos é:
Onde:
- $ n $ é o total de elementos.
- $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são as quantidades de cada elemento que se repete.
No nosso caso:
- $ n = 7 $ (total de letras).
- A letra “A” se repete 2 vezes, então $ p = 2! $.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Calculando os fatoriais:
- $ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 $
- $ 2! = 2 \times 1 = 2 $
Então:
Passo 5
Mas a gente quer que a senha seja diferente do próprio nome “Manoela”. Isso significa que devemos tirar uma dessas possibilidades, que é o próprio “Manoela”.
Então, subtraímos 1 do total de permutações:
Resposta
2519