O manual de um motorista diz que um automóvel com pneus em boas condições e a uma velocidade de
pode parar em uma distância de
. A distância correspondente para a velocidade de
é
. Suponha que o tempo de reação do motorista, durante o qual a aceleração é zero, independe da velocidade do automóvel e que as acelerações quando os freios são aplicados sejam as mesmas para as duas velocidades. Calcule: (a) o tempo de reação do motorista e (b) a aceleração do carro.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos um carro que, com pneus em boas condições, para completamente após uma certa distância dependendo da velocidade inicial. Precisamos calcular:
a) O tempo de reação do motorista, que é o tempo que ele leva para perceber o obstáculo e começar a frear.
b) A aceleração do carro durante a frenagem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniforme acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, pois as distâncias estão em metros e o tempo será em segundos.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
Calculando:
Para 80 km/h:
Para 48 km/h:
Passo 3
Vamos considerar que a distância total de parada (
) é composta pelo tempo de reação (
) multiplicado pela velocidade inicial (
) mais a distância de frenagem (
).
Como o tempo de reação é o mesmo para ambas as velocidades e a aceleração durante a frenagem é a mesma, podemos montar duas equações:
Para 80 km/h:
Para 48 km/h:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
:
Calculando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distância de frenagem (
) usando uma das equações:
Usando a segunda equação:
Calculando:
O valor negativo indica que houve um erro no cálculo. Vamos verificar o Passo 4.
Correção:
No Passo 4, ao subtrair as equações, o correto é:
Esse valor parece alto para um tempo de reação. Verificaremos novamente os cálculos.
Passo 6
Vamos reavaliar o cálculo do tempo de reação.
Usando o sistema de equações:
Subtraindo (2) de (1):
Percebemos que esse valor está muito elevado para um tempo de reação típico, que geralmente é cerca de 1 segundo. Parece que houve um erro na conversão das velocidades ou nas distâncias.
Vamos verificar as conversões:
Para 80 km/h:
Para 48 km/h:
As conversões estão corretas. O problema está na interpretação das equações.
Passo 7
Na verdade, ao calcular a distância total de parada, devemos considerar que durante o tempo de reação, o carro continua em movimento com velocidade constante, e durante a frenagem, a velocidade diminui até zero.
A distância de frenagem (
) pode ser calculada usando a equação de movimento com aceleração constante:
Como o carro para,
, então:
Vamos utilizar essa relação para montar as equações corretas.
Passo 8
Usando a distância total de parada:
E a distância de frenagem:
Substituindo
na primeira equação:
Temos duas velocidades e respectivas distâncias, então podemos escrever:
Para 80 km/h (
,
):
Para 48 km/h (
,
):
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas:
e
. Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos reescrever as equações:
Multiplicando ambas as equações por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 10
Agora, temos:
Podemos resolver esse sistema por métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.
Multiplicando a equação (1’) por 26,66 e a equação (2’) por 44,44 para igualar os coeficientes de
:
Calculando:
Subtraindo a equação (2’’) da (1’’) para eliminar
:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Agora que temos a aceleração (
), vamos encontrar o tempo de reação (
) usando uma das equações anteriores.
Usando a equação (2’):
Substituindo
:
Calculando:
Isolando
:
Resposta
a) O tempo de reação do motorista é aproximadamente 0,738 segundos.
b) A aceleração do carro durante a frenagem é de aproximadamente -6,12 m/s².
Exercícios relacionados
(b) O campo elétrico também será necessariamente nulo no ponto
? Justifique.
O elevador de um edifício de 198 m de altura leva 40 s para ir do térreo ao último andar. Sabendo que os tempos de aceleração e de desaceleração valem ambos
e supondo que as taxas de aumento e de diminuição da velocidade são iguais, determine a velocidade máxima alcançada pelo elevador.
(b) Determine o potencial elétrico no centro do cubo, supondo que o potencial produzido por cada carga é nulo em um ponto infinitamente afastado delas.
© O que mudaria na resposta do item anterior se
fosse negativo?