O manual de um motorista diz que um automóvel com pneus em boas condições e a uma velocidade de 80 km / h pode parar em uma distância de 56,7 m. A distância correspondente para a velocidade de 48 km / h é 24,4 m. Suponha que o tempo de reação do motorista, durante o qual a aceleração é zero, independe da velocidade do automóvel e que as acelerações quando os freios são aplicados sejam as mesmas para as duas velocidades. Calcule: (a) o tempo de reação do motorista e (b) a aceleração do carro.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos um carro que, com pneus em boas condições, para completamente após uma certa distância dependendo da velocidade inicial. Precisamos calcular:
a) O tempo de reação do motorista, que é o tempo que ele leva para perceber o obstáculo e começar a frear.
b) A aceleração do carro durante a frenagem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniforme acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, pois as distâncias estão em metros e o tempo será em segundos.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
v (m/s) = v (km/h) times 10003600 = v (km/h) times 518
Calculando:
Para 80 km/h:
v1 = 80 times 518 = 40018 approx 22,22 , m/s
Para 48 km/h:
v2 = 48 times 518 = 24018 approx 13,33 , m/s

Passo 3

Vamos considerar que a distância total de parada ( d = v times tr + df ) é composta pelo tempo de reação ( 56,7 = 22,22 , tr + df ) multiplicado pela velocidade inicial ( 24,4 = 13,33 , tr + df ) mais a distância de frenagem ( ).
Como o tempo de reação é o mesmo para ambas as velocidades e a aceleração durante a frenagem é a mesma, podemos montar duas equações:
Para 80 km/h:
Para 48 km/h:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 56,7 - 24,4 = (22,22 - 13,33) , tr e 32,3 = 8,89 , tr ). Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar tr = 32,38,89 approx 3,63 , segundos :
Calculando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância de frenagem ( 24,4 = 13,33 , (3,63) + df ) usando uma das equações:
Usando a segunda equação:
24,4 = 48,36 + df
Calculando:
df = 24,4 - 48,36 = -23,96 , m
56,7 - 24,4 = 22,22 , tr - 13,33 , tr
O valor negativo indica que houve um erro no cálculo. Vamos verificar o Passo 4.
Correção:
No Passo 4, ao subtrair as equações, o correto é:
32,3 = 8,89 , tr
tr = 32,38,89 approx 3,63 , segundos
Esse valor parece alto para um tempo de reação. Verificaremos novamente os cálculos.

Passo 6

Vamos reavaliar o cálculo do tempo de reação.
Usando o sistema de equações:
56,7 = 22,22 , tr + df (1)
24,4 = 13,33 , tr + df (2)
Subtraindo (2) de (1):
56,7 - 24,4 = (22,22 - 13,33) , tr
32,3 = 8,89 , tr
tr = 32,38,89 approx 3,63 , segundos
Percebemos que esse valor está muito elevado para um tempo de reação típico, que geralmente é cerca de 1 segundo. Parece que houve um erro na conversão das velocidades ou nas distâncias.
Vamos verificar as conversões:
Para 80 km/h:
v1 = 80 times 518 approx 22,22 , m/s
Para 48 km/h:
v2 = 48 times 518 approx 13,33 , m/s
As conversões estão corretas. O problema está na interpretação das equações.

Passo 7

Na verdade, ao calcular a distância total de parada, devemos considerar que durante o tempo de reação, o carro continua em movimento com velocidade constante, e durante a frenagem, a velocidade diminui até zero.
A distância de frenagem ( v^2 = v0^2 + 2a df ) pode ser calculada usando a equação de movimento com aceleração constante:
0 = v0^2 + 2a df implies df = -v0^22a
Como o carro para, , então:
Vamos utilizar essa relação para montar as equações corretas.

Passo 8

Usando a distância total de parada:
d = v , tr + df
E a distância de frenagem:
df = -v^22a
Substituindo d = v , tr - v^22a na primeira equação:
56,7 = 22,22 , tr - (22,22)^22a (1)
Temos duas velocidades e respectivas distâncias, então podemos escrever:
Para 80 km/h ( 24,4 = 13,33 , tr - (13,33)^22a (2) , ):
Para 48 km/h ( , ):

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas: 56,7 = 22,22 , tr - 493,732a (1) e 24,4 = 13,33 , tr - 177,692a (2) . Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos reescrever as equações:
2a times 56,7 = 2a times 22,22 , tr - 493,73 (1)
2a times 24,4 = 2a times 13,33 , tr - 177,69 (2)
Multiplicando ambas as equações por 113,4a = 44,44a , tr - 493,73 (1') para eliminar os denominadores:
48,8a = 26,66a , tr - 177,69 (2')
Simplificando:

Passo 10

Agora, temos:
113,4a - 44,44a , tr = -493,73 (1')
48,8a - 26,66a , tr = -177,69 (2')
Podemos resolver esse sistema por métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.
Multiplicando a equação (1’) por 26,66 e a equação (2’) por 44,44 para igualar os coeficientes de 113,4a times 26,66 - 44,44a , tr times 26,66 = -493,73 times 26,66 :
48,8a times 44,44 - 26,66a , tr times 44,44 = -177,69 times 44,44
3023,64a - 1184,27a , tr = -13156,44 (1'')
Calculando:
2163,07a - 1184,27a , tr = -7890,63 (2'')
(3023,64a - 2163,07a) + (-1184,27a , tr + 1184,27a , tr) = -13156,44 + 7890,63
Subtraindo a equação (2’’) da (1’’) para eliminar 860,57a = -5265,81 :
a = -5265,81860,57 approx -6,12 , m/s^2
Simplificando:
Então:

Passo 11

Agora que temos a aceleração ( 48,8a = 26,66a , tr - 177,69 ), vamos encontrar o tempo de reação ( 48,8 times (-6,12) = 26,66 times (-6,12) , tr - 177,69 ) usando uma das equações anteriores.
Usando a equação (2’):
-298,06 = -163,04 , tr - 177,69
Substituindo -298,06 + 177,69 = -163,04 , tr :
-120,37 = -163,04 , tr
Calculando:
tr = -120,37-163,04 approx 0,738 , segundos
Isolando :

Resposta

a) O tempo de reação do motorista é aproximadamente 0,738 segundos.
b) A aceleração do carro durante a frenagem é de aproximadamente -6,12 m/s².

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© O que mudaria na resposta do item anterior se rho fosse negativo?