Suponha que uma empresa esteja monitorando a média de demanda diária por um produto ao longo de 50 dias, e que a demanda diária siga uma distribuição com média de 100 unidades e desvio padrão de 20 unidades.
(a) Como a Lei dos Grandes Números se aplica ao monitoramento da média de demanda ao longo desses 50 dias?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que está monitorando a média de demanda diária de um produto durante 50 dias. Sabemos que a demanda diária tem uma média de 100 unidades e um desvio padrão de 20 unidades. A pergunta é: Como a Lei dos Grandes Números se aplica ao monitoramento dessa média de demanda ao longo desses 50 dias?
Para responder isso, vamos precisar entender o que é a Lei dos Grandes Números e como ela se relaciona com médias de amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei dos Grandes Números (LGN). Essa lei diz que, conforme aumentamos o número de observações em uma amostra, a média dessa amostra tende a se aproximar da média verdadeira da população. Em outras palavras, quanto mais dados a gente coleta, mais confiável é a média que calculamos.
Matematicamente, se é a média da população e é a média da amostra com observações, então:
Isso significa que, com um número grande de observações, a média da amostra ficará bem próxima de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico. A empresa está monitorando a demanda diária por 50 dias. Aqui, cada dia é uma observação independente, com uma média unidades e desvio padrão unidades.
Segundo a LGN, à medida que o número de dias monitorados aumenta, a média das demandas desses dias deve se aproximar de 100 unidades. Embora 50 dias não seja um número muito grande, a LGN sugere que já podemos esperar que a média monitorada esteja próxima desse valor esperado.
Além disso, a variabilidade das médias das amostras diminui à medida que aumentamos o número de observações. A fórmula do desvio padrão da média da amostra ( ) é:
Onde . Então:
Isso indica que a média das demandas diárias terá uma variabilidade menor, tornando-a mais confiável.

Resposta

A Lei dos Grandes Números garante que, ao monitorar a demanda diária ao longo de 50 dias, a média observada tenderá a se aproximar da média verdadeira de 100 unidades. Mesmo com 50 dias, a média das demandas será confiável e com baixa variabilidade, conforme previsto pela LGN.

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Suponha que uma empresa esteja monitorando a média de demanda diária por um produto ao longo de 50 dias, e que a demanda diária siga uma distribuição com média de 100 unidades e desvio padrão de 20 unidades.
(b) Usando a desigualdade de Chebyshev, determine uma cota superior para a probabilidade de que a média da demanda diária ao longo dos 50 dias difira da média verdadeira em mais de 5 unidades.