Um vetor aleatório (X, Y) é dito uniformemente distribuído em uma região limitada R subset R^2 do plano se para alguma constante c in R, sua densidade conjunta é dada por
f(x, y)= c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á
a) Mostre que 1 / c= área da região R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores aleatórios (X, Y) que são distribuídos de forma uniforme em uma região R no plano. O que isso significa? Basicamente, cada ponto dentro dessa região tem a mesma chance de aparecer. A gente vai usar conceitos de distribuição de probabilidade e cálculo de áreas para mostrar que 1/c é igual à área dessa região R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. No caso de uma distribuição contínua, como essa distribuição uniforme, isso se traduz na integral da função de densidade sobre toda a região R ser igual a 1. A função de densidade conjunta f(x, y) é dada por:
f(x, y) = c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral da função de densidade sobre a região R. Como f(x, y) = c dentro de R e 0 fora, a integral fica:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral duplaR c , dx , dy

Passo 4

Sabemos que a integral de uma constante c sobre a região R é igual a c multiplicado pela área de R. Então,
integral duplaR c , dx , dy = c cdot Área(R) Á
E lembrando que toda a integral deve ser igual a 1, então:
c cdot Área(R) = 1 Á

Passo 5

Agora, é só resolver para 1/c:
1/c = Área(R) Á

Resposta

Portanto, mostramos que 1/c é igual à área da região R.

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