Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por
á
a) Mostre que área da região ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores aleatórios que são distribuídos de forma uniforme em uma região no plano. O que isso significa? Basicamente, cada ponto dentro dessa região tem a mesma chance de aparecer. A gente vai usar conceitos de distribuição de probabilidade e cálculo de áreas para mostrar que é igual à área dessa região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. No caso de uma distribuição contínua, como essa distribuição uniforme, isso se traduz na integral da função de densidade sobre toda a região ser igual a 1. A função de densidade conjunta é dada por:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral da função de densidade sobre a região . Como dentro de e 0 fora, a integral fica:

Passo 4

Sabemos que a integral de uma constante sobre a região é igual a multiplicado pela área de . Então,
Á
E lembrando que toda a integral deve ser igual a 1, então:
Á

Passo 5

Agora, é só resolver para :
Á

Resposta

Portanto, mostramos que é igual à área da região .

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