Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
a) Mostre que
área da região
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores aleatórios
que são distribuídos de forma uniforme em uma região
no plano. O que isso significa? Basicamente, cada ponto dentro dessa região tem a mesma chance de aparecer. A gente vai usar conceitos de distribuição de probabilidade e cálculo de áreas para mostrar que
é igual à área dessa região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. No caso de uma distribuição contínua, como essa distribuição uniforme, isso se traduz na integral da função de densidade sobre toda a região
ser igual a 1. A função de densidade conjunta
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral da função de densidade sobre a região
. Como
dentro de
e 0 fora, a integral fica:
Passo 4
Sabemos que a integral de uma constante
sobre a região
é igual a
multiplicado pela área de
. Então,
E lembrando que toda a integral deve ser igual a 1, então:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Resposta
Portanto, mostramos que
é igual à área da região
.
Exercícios relacionados
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de e
;
Encontre a função de probabilidade conjunta de
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a) Encontre a função de probabilidade de
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Para resolver este problema você precisa fazer hipóteses de independência. Que hipóteses são essas?
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. Seja
o total de baterias funcionando após
dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a função de probabilidade de
Encontre a função de probabilidade de