Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
a) Mostre que
área da região
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores aleatórios
que são distribuídos de forma uniforme em uma região
no plano. O que isso significa? Basicamente, cada ponto dentro dessa região tem a mesma chance de aparecer. A gente vai usar conceitos de distribuição de probabilidade e cálculo de áreas para mostrar que
é igual à área dessa região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. No caso de uma distribuição contínua, como essa distribuição uniforme, isso se traduz na integral da função de densidade sobre toda a região
ser igual a 1. A função de densidade conjunta
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral da função de densidade sobre a região
. Como
dentro de
e 0 fora, a integral fica:
Passo 4
Sabemos que a integral de uma constante
sobre a região
é igual a
multiplicado pela área de
. Então,
E lembrando que toda a integral deve ser igual a 1, então:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Resposta
Portanto, mostramos que
é igual à área da região
.