O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de
e
;
Encontre a função de probabilidade conjunta de
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre o total de chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora, que segue uma distribuição de Poisson com média
. Cada chamada pode ser local com probabilidade
ou internacional/interurbana com probabilidade
. Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de
(chamadas locais) e
(chamadas internacionais/interurbanas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e propriedades de variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se
segue uma distribuição de Poisson com média
, a função de probabilidade de
é dada por:
Isso nos dá a probabilidade de haver exatamente
chamadas no total em uma hora.
Passo 3
Agora, cada chamada pode ser de dois tipos: local ou internacional/interurbana. A probabilidade de uma chamada ser local é
e de ser internacional/interurbana é
. Como cada chamada é independente das outras, podemos modelar
e
como partes de
.
Passo 4
Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta
. Sabemos que
. Para duas variáveis aleatórias
e
, a função de probabilidade conjunta é:
Mas como as chamadas são independentes,
não depende de
, então:
Passo 5
Sabemos que
segue uma distribuição de Poisson com média
e
com média
. Portanto:
Passo 6
Multiplicando as duas probabilidades para obter a função conjunta:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
e
é: