O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo. Encontre a função de probabilidade conjunta de e ;

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre o total de chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora, que segue uma distribuição de Poisson com média . Cada chamada pode ser local com probabilidade ou internacional/interurbana com probabilidade . Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de (chamadas locais) e (chamadas internacionais/interurbanas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e propriedades de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se segue uma distribuição de Poisson com média , a função de probabilidade de é dada por: Isso nos dá a probabilidade de haver exatamente chamadas no total em uma hora.

Passo 3

Agora, cada chamada pode ser de dois tipos: local ou internacional/interurbana. A probabilidade de uma chamada ser local é e de ser internacional/interurbana é . Como cada chamada é independente das outras, podemos modelar e como partes de .

Passo 4

Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta . Sabemos que . Para duas variáveis aleatórias e , a função de probabilidade conjunta é: Mas como as chamadas são independentes, não depende de , então:

Passo 5

Sabemos que segue uma distribuição de Poisson com média e com média . Portanto:

Passo 6

Multiplicando as duas probabilidades para obter a função conjunta: Simplificando os expoentes:

Resposta

A função de probabilidade conjunta de e é:

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Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por á Mostre que se então são independentes.
Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por á a) Mostre que área da região ;