O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e têm distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de N1 e N2;

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre o total de chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora, que segue uma distribuição de Poisson com média . Cada chamada pode ser local com probabilidade ou internacional/interurbana com probabilidade . Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de (chamadas locais) e (chamadas internacionais/interurbanas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e propriedades de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se P(N = k) = e^-lambda lambda^kk! segue uma distribuição de Poisson com média , a função de probabilidade de é dada por:
Isso nos dá a probabilidade de haver exatamente chamadas no total em uma hora.

Passo 3

Agora, cada chamada pode ser de dois tipos: local ou internacional/interurbana. A probabilidade de uma chamada ser local é e de ser internacional/interurbana é . Como cada chamada é independente das outras, podemos modelar e como partes de .

Passo 4

Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta P(N1 = n1, N2 = n2) = P(N1 = n1) cdot P(N2 = n2 mid N1 = n1) . Sabemos que P(N1 = n1, N2 = n2) = P(N1 = n1) cdot P(N2 = n2) . Para duas variáveis aleatórias e , a função de probabilidade conjunta é:
Mas como as chamadas são independentes, não depende de , então:

Passo 5

Sabemos que P(N1 = n1) = e^-lambda p (lambda p)^n1n1! segue uma distribuição de Poisson com média P(N2 = n2) = e^-lambda (1-p) (lambda (1-p))^n2n2! e com média . Portanto:

Passo 6

Multiplicando as duas probabilidades para obter a função conjunta:
P(N1 = n1, N2 = n2) = e^-lambda p (lambda p)^n1n1! cdot e^-lambda (1-p) (lambda (1-p))^n2n2!
Simplificando os expoentes:
P(N1 = n1, N2 = n2) = e^-lambda (lambda p)^n1 (lambda (1-p))^n2n1! , n2!

Resposta

A função de probabilidade conjunta de P(N1 = n1, N2 = n2) = e^-lambda (lambda p)^n1 (lambda (1-p))^n2n1! , n2! e é:

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