Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a função de probabilidade de

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que usa 3 baterias e funciona normalmente enquanto pelo menos 2 delas estão carregadas. O tempo que cada bateria fica carregada segue uma distribuição de probabilidade com densidade para . Queremos encontrar a função de probabilidade de , que representa o número total de baterias funcionando após dias.
Matéria envolvida: Probabilidade e Estatística, especificamente distribuições de probabilidade e variáveis aleatórias discretas.
O que vamos precisar:
  • Compreender a distribuição de probabilidade dada.
  • Calcular probabilidades de diferentes eventos para .
  • Usar as propriedades das variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, já que temos 3 baterias. Queremos encontrar para cada nesses valores.
Para isso, precisamos calcular a probabilidade de exatamente baterias estarem carregadas depois de dias.

Passo 3

Vamos definir que cada bateria tem a probabilidade de estar carregada após dias e a probabilidade de não estar carregada. Como as baterias são independentes, podemos multiplicar as probabilidades individuais.
A condição para uma bateria estar carregada é que seu tempo de carga seja maior que , ou seja, .
A função de sobrevivência, que é a probabilidade de uma bateria ainda estar carregada após dias, é:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes onde:
  • Seja e
  • Então, e
Aplicando integração por partes:
Portanto:

Passo 5

Agora, a probabilidade de uma bateria não estar carregada após dias é:
Vamos chamar e .

Passo 6

Como temos 3 baterias independentes, a probabilidade de exatamente baterias estarem carregadas é dada pela distribuição binomial:
Onde é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher baterias carregadas entre 3.

Passo 7

Vamos calcular para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Substituindo e nas equações acima, temos a função de probabilidade de :

Resposta

A função de probabilidade de é dada por:

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