Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade f(t)=t e^-t, t>0. Seja N(t) o total de baterias funcionando após t dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a função de probabilidade de N(t)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que usa 3 baterias e funciona normalmente enquanto pelo menos 2 delas estão carregadas. O tempo que cada bateria fica carregada segue uma distribuição de probabilidade com densidade para . Queremos encontrar a função de probabilidade de , que representa o número total de baterias funcionando após dias.
Matéria envolvida: Probabilidade e Estatística, especificamente distribuições de probabilidade e variáveis aleatórias discretas.
O que vamos precisar:
  • Compreender a distribuição de probabilidade dada.
  • Calcular probabilidades de diferentes eventos para .
  • Usar as propriedades das variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, já que temos 3 baterias. Queremos encontrar para cada nesses valores.
Para isso, precisamos calcular a probabilidade de exatamente baterias estarem carregadas depois de dias.

Passo 3

Vamos definir que cada bateria tem a probabilidade de estar carregada após P(T > t) = integralt^infty f(s) ds dias e a probabilidade de não estar carregada. Como as baterias são independentes, podemos multiplicar as probabilidades individuais.
A condição para uma bateria estar carregada é que seu tempo de carga seja maior que , ou seja, .
A função de sobrevivência, que é a probabilidade de uma bateria ainda estar carregada após dias, é:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando P(T > t) = integralt^infty s e^-s ds :
integral s e^-s ds = -s e^-s + integral e^-s ds = -s e^-s - e^-s + C
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes onde:
  • Seja P(T > t) = [ -s e^-s - e^-s ]t^infty = 0 - ( -t e^-t - e^-t ) = t e^-t + e^-t = e^-t(t + 1) e
  • Então, e
Aplicando integração por partes:
Portanto:

Passo 5

Agora, a probabilidade de uma bateria não estar carregada após P(T <= t) = 1 - P(T > t) = 1 - e^-t(t + 1) dias é:
Vamos chamar e .

Passo 6

Como temos 3 baterias independentes, a probabilidade de exatamente P(N(t) = k) = binom3k p^k q^3 - k baterias estarem carregadas é dada pela distribuição binomial:
Onde é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher baterias carregadas entre 3.

Passo 7

Vamos calcular P(N(t) = 0) = binom30 p^0 q^3 = 1 times 1 times q^3 = q^3 para P(N(t) = 1) = binom31 p^1 q^2 = 3 times p times q^2 :
  1. Para P(N(t) = 2) = binom32 p^2 q^1 = 3 times p^2 times q :
P(N(t) = 3) = binom33 p^3 q^0 = 1 times p^3 times 1 = p^3
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Substituindo P(N(t) = 0) = [1 - e^-t(t + 1)]^3 P(N(t) = 1) = 3 times e^-t(t + 1) times [1 - e^-t(t + 1)]^2 P(N(t) = 2) = 3 times [e^-t(t + 1)]^2 times [1 - e^-t(t + 1)] P(N(t) = 3) = [e^-t(t + 1)]^3 e nas equações acima, temos a função de probabilidade de :

Resposta

A função de probabilidade de P(N(t) = k) = [1 - e^-t(t + 1)]^3 & para k = 0, 3 times e^-t(t + 1) times [1 - e^-t(t + 1)]^2 & para k = 1, 3 times [e^-t(t + 1)]^2 times [1 - e^-t(t + 1)] & para k = 2, [e^-t(t + 1)]^3 & para k = 3 é dada por:

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