A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a venda diária exceda 8 mil reais em ao menos dois dias, durante três dias consecutivos.
Para resolver este problema você precisa fazer hipóteses de independência. Que hipóteses são essas?
a venda diária exceda 8 mil reais em ao menos dois dias, durante três dias consecutivos.
Para resolver este problema você precisa fazer hipóteses de independência. Que hipóteses são essas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a venda diária bruta de um restaurante, medida em milhares de reais, segue uma distribuição normal com média de 10 e desvio padrão de 2. Precisamos calcular a probabilidade de que, em três dias consecutivos, a venda diária exceda 8 mil reais em pelo menos dois desses dias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, calcular probabilidades individuais e usar conceitos de probabilidade combinatória, assumindo que os dias são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a probabilidade de, em um único dia, a venda exceder 8 mil reais. Como temos uma distribuição normal com média (μ) = 10 e desvio padrão (σ) = 2, podemos padronizar o valor para encontrar essa probabilidade.
A fórmula para padronizar é:
Onde
é o valor que queremos padronizar.
Passo 3
Aplicando a fórmula:
Agora, queremos a probabilidade de
, ou seja,
.
Passo 4
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de
é aproximadamente 0,1587. Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de
é:
Então, a probabilidade de, em um dia, a venda exceder 8 mil reais é cerca de 84,13%.
Passo 5
Agora, queremos que isso aconteça em pelo menos dois dias em três consecutivos. Vamos calcular as diferentes possibilidades:
- Exceder em exatamente dois dias.
- Exceder em todos os três dias.
Vamos usar a fórmula de combinação para calcular essas probabilidades.
Passo 6
A probabilidade de exceder em exatamente dois dias é dada por:
Onde
é a combinação de 3 dias escolhendo 2.
Calculando:
Passo 7
A probabilidade de exceder em todos os três dias é:
Passo 8
Agora, somamos as probabilidades dos dois cenários para obter a probabilidade de exceder em pelo menos dois dias:
Resposta
A probabilidade de que a venda diária exceda 8 mil reais em pelo menos dois dias durante três dias consecutivos é aproximadamente 93,28%.