A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a venda diária exceda 8 mil reais em ao menos dois dias, durante três dias consecutivos.
Para resolver este problema você precisa fazer hipóteses de independência. Que hipóteses são essas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a venda diária bruta de um restaurante, medida em milhares de reais, segue uma distribuição normal com média de 10 e desvio padrão de 2. Precisamos calcular a probabilidade de que, em três dias consecutivos, a venda diária exceda 8 mil reais em pelo menos dois desses dias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, calcular probabilidades individuais e usar conceitos de probabilidade combinatória, assumindo que os dias são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a probabilidade de, em um único dia, a venda exceder 8 mil reais. Como temos uma distribuição normal com média (μ) = 10 e desvio padrão (σ) = 2, podemos padronizar o valor para encontrar essa probabilidade.
A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Onde é o valor que queremos padronizar.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
Z = 8 - 102 = -22 = -1
Agora, queremos a probabilidade de , ou seja, .

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de P(Z > -1) = 1 - P(Z < -1) = 1 - 0,1587 = 0,8413 é aproximadamente 0,1587. Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de é:
Então, a probabilidade de, em um dia, a venda exceder 8 mil reais é cerca de 84,13%.

Passo 5

Agora, queremos que isso aconteça em pelo menos dois dias em três consecutivos. Vamos calcular as diferentes possibilidades:
  1. Exceder em exatamente dois dias.
  2. Exceder em todos os três dias.
Vamos usar a fórmula de combinação para calcular essas probabilidades.

Passo 6

A probabilidade de exceder em exatamente dois dias é dada por:
P(2 dias) = C(3,2) times (0,8413)^2 times (1 - 0,8413)^1
Onde C(3,2) = 3 é a combinação de 3 dias escolhendo 2.
Calculando:
P(2 dias) = 3 times (0,8413)^2 times 0,1587 approx 3 times 0,7078 times 0,1587 approx 0,3378

Passo 7

A probabilidade de exceder em todos os três dias é:
P(3 dias) = (0,8413)^3 approx 0,8413 times 0,8413 times 0,8413 approx 0,595

Passo 8

Agora, somamos as probabilidades dos dois cenários para obter a probabilidade de exceder em pelo menos dois dias:
P(pelo menos 2 dias) = P(2 dias) + P(3 dias) approx 0,3378 + 0,595 = 0,9328

Resposta

A probabilidade de que a venda diária exceda 8 mil reais em pelo menos dois dias durante três dias consecutivos é aproximadamente 93,28%.

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