Uma máquina rotativa a 1000 rpm, tem massa de 500 kg e um desbalanceamento de m0e=5,8 kg.m. Para o sistema são usados amortecedores com fatores de amortecimento ζ = 0,2. Considerando a rigidez do sistema de 250.000 N/m, determine a transmissibilidade deste sistema. Escolha uma:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais assuntos vamos precisar.
Enunciado Resumido:
Temos uma máquina que gira a 1000 rotações por minuto (rpm), com uma massa de 500 kg e um desbalanceamento de 5,8 kg·m. O sistema usa amortecedores com fator de amortecimento ζ = 0,2 e uma rigidez de 250.000 N/m. Precisamos determinar a transmissibilidade desse sistema.
Matéria Envolvida:
Estamos lidando com vibrações mecânicas, especificamente analisando como as vibrações são transmitidas através de um sistema com massa, rigidez e amortecimento.
O que vamos precisar:
  1. Converter a velocidade de rotação de rpm para rad/s.
  2. Calcular a frequência natural do sistema.
  3. Determinar a razão de frequência ®.
  4. Aplicar a fórmula da transmissibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s). Isso é importante porque as fórmulas de vibração geralmente usam rad/s.
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
omega = rpm times 2pi60
Substituindo os valores:
omega = 1000 times 2pi60 approx 104,72, rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência natural do sistema ( omegan). A frequência natural depende da rigidez (k) e da massa (m) do sistema. A fórmula para omegan é:
omegan = raizkm
Substituindo os valores:
omegan = raiz250.000, N/m500, kg = raiz500 approx 22,36, rad/s

Passo 4

Com a frequência de operação ( omega) e a frequência natural ( omegan) calculadas, podemos determinar a razão de frequência ®, que é a relação entre essas duas frequências:
r = omegaomegan = 104,7222,36 approx 4,68

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da transmissibilidade (T) para sistemas com amortecimento. A fórmula é:
T = raiz1 + (2zeta r)^2(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2
Onde:
  • zeta é o fator de amortecimento.
  • r é a razão de frequência que calculamos.
Substituindo os valores:
T = raiz1 + (2 times 0,2 times 4,68)^2(1 - 4,68^2)^2 + (2 times 0,2 times 4,68)^2

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule 2zeta r:
2 times 0,2 times 4,68 = 1,872
Agora, calcule o numerador:
1 + (1,872)^2 = 1 + 3,504 = 4,504
Em seguida, calcule o denominador:
(1 - 4,68^2)^2 + (1,872)^2
Primeiro, 4,68^2 = 21,9024, então:
1 - 21,9024 = -20,9024
Elevando ao quadrado:
(-20,9024)^2 approx 436,217
Agora, somamos com (1,872)^2:
436,217 + 3,504 approx 439,721

Passo 7

Agora, substituímos de volta na fórmula da transmissibilidade:
T = raiz4,504439,721 approx raiz0,01024 approx 0,101

Resposta

A transmissibilidade do sistema é aproximadamente 0,101.

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