Um marceneiro tem como seu principal produto bancos de madeira, os quais são envernizados, antes da sua montagem, para melhor acabamento. Tais bancos são compostos pelo assento circular e quatro pernas de seção quadrada. O assento tem raio de 30 cm e espessura de 5 cm, enquanto as pernas têm 3 cm de lado e 40 cm de altura. Sabe-se que o verniz utilizado pelo marceneiro tem rendimento de 8 m2 por litro e é vendido apenas em latas de um litro. Para envernizar toda a sua produção mensal, 40 (quarenta) bancos, a quantidade de latas de verniz a ser adquirida é de (Considere: 1 m2 = 10 000 cm2 e π ≈ 3,14.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um marceneiro que precisa envernizar 40 bancos de madeira. Cada banco tem um assento circular e quatro pernas quadradas. Para resolver, vamos calcular a área total que precisa ser envernizada e, a partir daí, descobrir quantas latas de verniz ele precisa comprar. Vamos precisar usar fórmulas de área de círculos e de superfícies de prismas, além de conversões de unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área que precisa ser envernizada no assento circular de um banco. O assento tem duas partes principais que precisam de verniz: a parte superior, a parte inferior e a borda (a parte lateral).
Para a parte superior e inferior, usamos a fórmula da área de um círculo:
Onde $ r $ é o raio.
Passo 3
Substituindo os valores:
Como temos a parte superior e a inferior:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da borda do assento. A borda é como a lateral de um cilindro com altura igual à espessura do assento.
A fórmula para a área lateral de um cilindro é:
Onde $ h $ é a altura (ou espessura neste caso).
Substituindo os valores:
Passo 5
Somando as áreas da parte superior, inferior e da borda do assento:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área total das quatro pernas de um banco. Cada perna é um paralelepípedo com seção quadrada.
A fórmula para a área de superfície de um paralelepípedo com base quadrada é:
Onde $ lado $ é o lado do quadrado e $ altura $ é a altura da perna.
Substituindo os valores para uma perna:
Como são quatro pernas:
Passo 7
Agora, somamos a área total do assento com a área total das pernas para encontrar a área total a ser envernizada em um banco:
Passo 8
Como o marceneiro vai produzir 40 bancos, multiplicamos a área por 40:
Passo 9
Precisamos converter essa área de centímetros quadrados para metros quadrados, já que o rendimento do verniz está em m² por litro. Sabemos que:
Então:
Passo 10
Agora, vamos calcular quantos litros de verniz são necessários. O rendimento é de 8 m² por litro:
Como o verniz é vendido apenas em latas de 1 litro, o marceneiro precisará comprar 5 latas para ter verniz suficiente.
Resposta
O marceneiro precisa comprar 5 latas de verniz para envernizar os 40 bancos.