Mariquito está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda é v=12,0 m / s. No instante t=0 s, a extremidade de Mariquito possui um deslocamento negativo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada.
(a) Determine afunç ão de onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Mariquito está sacudindo uma corda de forma senoidal com uma frequência de 2,00 , Hz e uma amplitude de 0,075 , m. A velocidade da onda na corda é v = 12,0 , m/s. No instante inicial ( t = 0 , s), a extremidade da corda está no deslocamento negativo máximo e em repouso. Precisamos determinar a função de onda que descreve esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de função senoidal da onda, frequência, amplitude, velocidade da onda, e condições iniciais.

Passo 2

Vamos lembrar que a função de onda para uma onda que se propaga ao longo de uma corda pode ser escrita como:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude da onda.
  • k é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda lambda por k = 2pilambda.
  • omega é a frequência angular, relacionada à frequência f por omega = 2pi f.
  • phi é a fase inicial da onda.
Nosso objetivo é encontrar os valores de k, omega, e phi para escrever a função de onda completa.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a frequência angular omega usando a frequência dada:
f = 2,00 , Hz omega = 2pi f = 2pi times 2,00 = 4pi , rad/s

Passo 4

Agora, vamos encontrar o número de onda k utilizando a velocidade da onda v e a relação entre omega e k:
v = 12,0 , m/s k = omegav = 4pi12,0 = pi3 , rad/m

Passo 5

Precisamos determinar a fase inicial phi. Sabemos que no instante t = 0 e x = 0, a extremidade da corda está no deslocamento negativo máximo e em repouso. Isso significa:
y(0, 0) = -A A sin(phi) = -A sin(phi) = -1 phi = -pi2 , rad

Passo 6

Com todos os valores encontrados, podemos substituir na função de onda:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) y(x, t) = 0,075 , m times sin(pi3x - 4pi t - pi2)
Alternativamente, usando identidades trigonométricas, podemos reescrever a função de onda como:
y(x, t) = 0,075 , m times cos(pi3x - 4pi t)

Resposta

A função de onda é dada por:
y(x, t) = 0,075 , m times cos(pi3,x - 4pi,t)

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