Mariquito está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a
e uma amplitude de
. A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Mariquito possui um deslocamento negativo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada.
© Qualé a aceleração máxima transversal de qualquer ponto da corda?
© Qualé a aceleração máxima transversal de qualquer ponto da corda?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre uma corda que está sendo sacudida de maneira senoidal. Temos:
- Frequência da sacudida:
- Amplitude da sacudida:
- Velocidade da onda na corda:
- No instante inicial (
), a extremidade da corda está no deslocamento negativo máximo e em repouso.
Queremos descobrir qual é a aceleração transversal máxima de qualquer ponto da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos senoidais e como calcular acelerações a partir deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o movimento senoidal pode ser representado por uma função trigonométrica. A posição de um ponto na corda em função do tempo e da posição é dada por:
Onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Como queremos a aceleração, precisamos derivar essa função duas vezes em relação ao tempo.
Passo 3
A primeira derivada de
em relação ao tempo
nos dá a velocidade:
A segunda derivada, que é a aceleração, fica:
Essa expressão nos mostra que a aceleração depende do tempo e da posição, mas queremos o valor máximo dessa aceleração.
Passo 4
O valor máximo da função seno é 1, então a aceleração máxima acontece quando:
Portanto, a aceleração máxima transversal
é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, a frequência angular. Sabemos que:
Onde
é a frequência. Com
:
Passo 6
Substituindo
na fórmula da aceleração máxima:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Para ter uma ideia numérica, vamos calcular
:
Portanto:
Resposta
A aceleração transversal máxima de qualquer ponto da corda é aproximadamente
ou, numericamente, cerca de
.