Mariquito está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda é v=12,0 m / s. No instante t=0 s, a extremidade de Mariquito possui um deslocamento negativo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada.
© Qualé a aceleração máxima transversal de qualquer ponto da corda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre uma corda que está sendo sacudida de maneira senoidal. Temos:
  • Frequência da sacudida: 2,00 , Hz
  • Amplitude da sacudida: 0,075 , m
  • Velocidade da onda na corda: v = 12,0 , m/s
  • No instante inicial ( t = 0 , s), a extremidade da corda está no deslocamento negativo máximo e em repouso.
Queremos descobrir qual é a aceleração transversal máxima de qualquer ponto da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos senoidais e como calcular acelerações a partir deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o movimento senoidal pode ser representado por uma função trigonométrica. A posição de um ponto na corda em função do tempo e da posição é dada por:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude,
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
Como queremos a aceleração, precisamos derivar essa função duas vezes em relação ao tempo.

Passo 3

A primeira derivada de y(x, t) em relação ao tempo t nos dá a velocidade:
partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t + phi)
A segunda derivada, que é a aceleração, fica:
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sin(kx - omega t + phi)
Essa expressão nos mostra que a aceleração depende do tempo e da posição, mas queremos o valor máximo dessa aceleração.

Passo 4

O valor máximo da função seno é 1, então a aceleração máxima acontece quando:
sin(kx - omega t + phi) = pm 1
Portanto, a aceleração máxima transversal amax é:
amax = A omega^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular omega, a frequência angular. Sabemos que:
omega = 2pi f
Onde f é a frequência. Com f = 2,00 , Hz:
omega = 2pi times 2,00 , Hz = 4pi , rad/s

Passo 6

Substituindo omega na fórmula da aceleração máxima:
amax = A omega^2 = 0,075 , m times (4pi)^2
Calculando (4pi)^2:
(4pi)^2 = 16pi^2
Então:
amax = 0,075 , m times 16pi^2 = 1,2pi^2 , m/s^2

Passo 7

Para ter uma ideia numérica, vamos calcular 1,2pi^2:
pi^2 approx 9,8696
Portanto:
amax approx 1,2 times 9,8696 , m/s^2 approx 11,84 , m/s^2

Resposta

A aceleração transversal máxima de qualquer ponto da corda é aproximadamente 1,2pi^2 , m/s^2 ou, numericamente, cerca de 11,84 , m/s^2.

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