Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma elipse, um ponto ou conjunto vazio
2x2+7y2-x+4y+10=0
x2+y2-5x+4y+10=0
2x2-4y2+xy-5x+4y+10=0
2x2+2y2-5x+4y+10=0
x2+y2+2xy-5x+4y+10=0
2x2+7y2-x+4y+10=0
x2+y2-5x+4y+10=0
2x2-4y2+xy-5x+4y+10=0
2x2+2y2-5x+4y+10=0
x2+y2+2xy-5x+4y+10=0
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa identificar qual das equações dadas representa uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. Pra isso, vamos usar o conteúdo das Cônicas, especificamente a classificação das seções cônicas através da discriminante. Vamos precisar entender como calcular a discriminante para cada equação e ver o que ela nos diz sobre a forma da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação geral de segunda grau tem a forma:
A discriminante, que nos ajuda a classificar a cônica, é dada por:
Com a discriminante calculada, temos:
- Se
: representa uma elipse (ou círculo se e ). - Se
: representa uma parábola. - Se
: representa uma hipérbole. - Se a equação não tiver soluções reais, pode representar um conjunto vazio ou um ponto.
Agora, vamos calcular a discriminante para cada uma das equações fornecidas.
Passo 3
Equação 1:
Aqui, temos:
-
-
(não tem termo ) -
Calculando a discriminante:
Como
, essa equação representa uma elipse.
Passo 4
Equação 2:
Aqui, temos:
Calculando a discriminante:
Como
e
com
, essa equação representa um círculo, que é um caso especial de elipse.
Passo 5
Equação 3:
Aqui, temos:
Calculando a discriminante:
Como
, essa equação representa uma hipérbole.
Passo 6
Equação 4:
Aqui, temos:
Calculando a discriminante:
Como
e
com
, essa equação também representa um círculo.
Passo 7
Equação 5:
Aqui, temos:
Calculando a discriminante:
Como
, essa equação representa uma parábola.
Resposta
A alternativa que representa uma elipse é a primeira equação:
As outras equações representam diferentes cônicas: a segunda e a quarta são círculos, a terceira é uma hipérbole e a quinta é uma parábola.