Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma elipse, um ponto ou conjunto vazio
2x2+7y2-x+4y+10=0
x2+y2-5x+4y+10=0
2x2-4y2+xy-5x+4y+10=0
2x2+2y2-5x+4y+10=0
x2+y2+2xy-5x+4y+10=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa identificar qual das equações dadas representa uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. Pra isso, vamos usar o conteúdo das Cônicas, especificamente a classificação das seções cônicas através da discriminante. Vamos precisar entender como calcular a discriminante para cada equação e ver o que ela nos diz sobre a forma da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação geral de segunda grau tem a forma:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 ²²
A discriminante, que nos ajuda a classificar a cônica, é dada por:
De²
Com a discriminante calculada, temos:
  • Se De: representa uma elipse (ou círculo se A = C e B = 0).
  • Se De: representa uma parábola.
  • Se De 0: representa uma hipérbole.
  • Se a equação não tiver soluções reais, pode representar um conjunto vazio ou um ponto.
Agora, vamos calcular a discriminante para cada uma das equações fornecidas.

Passo 3

Equação 1: 2x² + 7y² - x + 4y + 10 = 0²²
Aqui, temos:
  • A = 2
  • B = 0 (não tem termo xy)
  • C = 7
Calculando a discriminante:
De²
Como De, essa equação representa uma elipse.

Passo 4

Equação 2: x² + y² - 5x + 4y + 10 = 0²²
Aqui, temos:
  • A = 1
  • B = 0
  • C = 1
Calculando a discriminante:
De²
Como De e A = C com B = 0, essa equação representa um círculo, que é um caso especial de elipse.

Passo 5

Equação 3: 2x² - 4y² + xy - 5x + 4y + 10 = 0²²
Aqui, temos:
  • A = 2
  • B = 1
  • C = -4
Calculando a discriminante:
De²
Como De 0, essa equação representa uma hipérbole.

Passo 6

Equação 4: 2x² + 2y² - 5x + 4y + 10 = 0²²
Aqui, temos:
  • A = 2
  • B = 0
  • C = 2
Calculando a discriminante:
De²
Como De e A = C com B = 0, essa equação também representa um círculo.

Passo 7

Equação 5: x² + y² + 2xy - 5x + 4y + 10 = 0²²
Aqui, temos:
  • A = 1
  • B = 2
  • C = 1
Calculando a discriminante:
De²
Como De, essa equação representa uma parábola.

Resposta

A alternativa que representa uma elipse é a primeira equação:
2x² + 7y² - x + 4y + 10 = 0 ²²
As outras equações representam diferentes cônicas: a segunda e a quarta são círculos, a terceira é uma hipérbole e a quinta é uma parábola.

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