Resolva o problema do valor inicial dy/dx=2x-7,y(2)=0. Assinale a alternativa que contenha essa função. A: F(x)=x^3-7x+C B: F(x)=x^3-7x+5 C: F(x)=x^2-7x+C D: F(x)=x^2-7x E: F(x)=x^2-7x+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial $ \frac{dy}{dx} = 2x - 7 $ com a condição inicial $ y(2) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração, que ajuda a encontrar a função $ y(x) $ a partir da sua derivada. Vamos precisar integrar a expressão $ 2x - 7 $ e depois usar a condição inicial pra achar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada $ \frac{dy}{dx} = 2x - 7 $ para encontrar a função $ y(x) $. A integração é o processo inverso da derivação. Então, vamos calcular:
dydx = 2x - 7

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
integral 2x , dx = x^2
integral -7 , dx = -7x
Então, juntando tudo, temos:
y(x) = x^2 - 7x + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(2) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na função que encontramos:
y(2) = 0
C
x = 2
y = 0

Resposta

Então, a função que resolve o problema é:
F(x) = x^2 - 7x + 10
A alternativa correta é a Opção E.

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