Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) y^prime prime+2 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0,
f(t)=lll0, & se & 0 <= t= 3 pi
R.: y(t)=U(t-pi) h(t-pi)-U(t-3 pi) h(t-3 pi), h(t)=12 s-s2(s^2+4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais e uma função forçada que muda de valor em determinados intervalos de tempo. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar transformar a equação, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) = 0, & 0 <= t < pi 2, & pi <= t < 3pi 0, & t >= 3pi de uma forma que a Transformada de Laplace lide melhor. A função f(t) = 2 cdot U(t - pi) - 2 cdot U(t - 3pi) é dada por:
Isso pode ser representado usando as funções de Heaviside , que “ligam” ou “desligam” funções em determinados pontos. Assim, podemos escrever:
Isso significa que é 2 entre e , e 0 fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Como as condições iniciais são s^2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = Lf(t) e , a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos resolver para Y(s)(s^2 + 2s + 2) = Lf(t) :
Y(s) = Lf(t)s^2 + 2s + 2
Precisamos agora encontrar , que já expressamos em termos de funções de Heaviside.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de Lf(t) = 2 cdot LU(t - pi) - 2 cdot LU(t - 3pi) :
LU(t - a) = e^-ass
Lf(t) = 2 cdot e^-pi ss - 2 cdot e^-3pi ss

Passo 6

Substituindo Y(s) = 2 e^-pi ss(s^2 + 2s + 2) - 2 e^-3pi ss(s^2 + 2s + 2) na expressão de s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1 :
Podemos fatorar o denominador :
Isso facilita a obtenção da Transformada Inversa.

Passo 7

Para simplificar, vamos expressar Y(s) = 2 e^-pi s cdot 1s(s^2 + 2s + 2) - 2 e^-3pi s cdot 1s(s^2 + 2s + 2) como:
Agora, nossa tarefa é achar a Transformada Inversa de Laplace dessa expressão.

Passo 8

Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamento no tempo:
L^-1e^-asF(s) = U(t - a)f(t - a)
Aplicando isso aos termos de y(t) = 2 cdot U(t - pi) cdot h(t - pi) - 2 cdot U(t - 3pi) cdot h(t - 3pi) :
h(t) = 1s(s^2 + 2s + 2)
Onde é a Transformada Inversa de:

Passo 9

Simplificando 1s(s^2 + 2s + 2) = 12s - s2(s^2 + 4) , observamos que:
h(t) = 12 cdot L^-11s - 12 cdot L^-1ss^2 + 4
Então,
h(t) = 12 cdot 1 - 12 cdot cos(2t)
h(t) = 12 - cos(2t)2

Resposta

y(t) = U(t - pi) (12 - cos[2(t - pi)]2) - U(t - 3pi) (12 - cos[2(t - 3pi)]2)

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