Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
R.: y(t)=U(t-pi) h(t-pi)-U(t-3 pi) h(t-3 pi), h(t)=12 s-s2(s^2+4)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais e uma função forçada que muda de valor em determinados intervalos de tempo. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar transformar a equação, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para achar .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função f(t) = 0, & 0 <= t < pi 2, & pi <= t < 3pi 0, & t >= 3pi de uma forma que a Transformada de Laplace lide melhor. A função f(t) = 2 cdot U(t - pi) - 2 cdot U(t - 3pi) é dada por:
Isso pode ser representado usando as funções de Heaviside , que “ligam” ou “desligam” funções em determinados pontos. Assim, podemos escrever:
Isso significa que é 2 entre e , e 0 fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Como as condições iniciais são s^2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = Lf(t) e , a equação transformada fica:
Passo 4
Vamos resolver para Y(s)(s^2 + 2s + 2) = Lf(t) :
Y(s) = Lf(t)s^2 + 2s + 2
Precisamos agora encontrar , que já expressamos em termos de funções de Heaviside.
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de Lf(t) = 2 cdot LU(t - pi) - 2 cdot LU(t - 3pi) :