Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
R.: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais e uma função forçada que muda de valor em determinados intervalos de tempo. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar transformar a equação, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para achar .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que a Transformada de Laplace lide melhor. A função é dada por:
Isso pode ser representado usando as funções de Heaviside , que “ligam” ou “desligam” funções em determinados pontos. Assim, podemos escrever:
Isso significa que é 2 entre e , e 0 fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Como as condições iniciais são e , a equação transformada fica:
Passo 4
Vamos resolver para :
Precisamos agora encontrar , que já expressamos em termos de funções de Heaviside.
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de :
Passo 6
Substituindo na expressão de :
Podemos fatorar o denominador :
Isso facilita a obtenção da Transformada Inversa.
Passo 7
Para simplificar, vamos expressar como:
Agora, nossa tarefa é achar a Transformada Inversa de Laplace dessa expressão.
Passo 8
Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamento no tempo: