Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,

R.: ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais e uma função forçada que muda de valor em determinados intervalos de tempo. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar transformar a equação, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que a Transformada de Laplace lide melhor. A função é dada por:
Isso pode ser representado usando as funções de Heaviside , que “ligam” ou “desligam” funções em determinados pontos. Assim, podemos escrever:
Isso significa que é 2 entre e , e 0 fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Como as condições iniciais são e , a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos resolver para :
Precisamos agora encontrar , que já expressamos em termos de funções de Heaviside.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de :

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Podemos fatorar o denominador :
Isso facilita a obtenção da Transformada Inversa.

Passo 7

Para simplificar, vamos expressar como:
Agora, nossa tarefa é achar a Transformada Inversa de Laplace dessa expressão.

Passo 8

Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamento no tempo:
Aplicando isso aos termos de :
Onde é a Transformada Inversa de:

Passo 9

Simplificando , observamos que:
Então,

Resposta

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