Uma pesquisa indica que 41 % das mulheres americanas tem a leitura como atividade de lazer preferida. Escolhe-se, aleatoriamente, quatro mulheres americanas e lhes perguntam se elas têm a leitura como atividade de lazer preferida. Marque as alternativas corretas:
d. A probabilidade de que no mínimo duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de 0,542

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que:
  • Enunciado resumido: 41% das mulheres americanas preferem a leitura como atividade de lazer. Selecionamos aleatoriamente 4 mulheres e perguntamos a elas sobre isso. Queremos saber se a alternativa d está correta, que diz que a probabilidade de pelo menos duas das mulheres responderem “sim” é de 0,542.
  • Conteúdo da matéria: Probabilidade Binomial.
  • O que vamos precisar: Fórmula da distribuição binomial e entender como calcular probabilidades para diferentes números de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma Distribuição Binomial, onde:
  • n = número de tentativas (neste caso, 4 mulheres).
  • p = probabilidade de sucesso em cada tentativa (41% ou 0,41 de uma mulher preferir a leitura).
Queremos achar a probabilidade de pelo menos duas mulheres responderem “sim”. Isso significa calcular P(X ≥ 2).

Passo 3

Para calcular P(X ≥ 2), podemos usar a seguinte relação:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis é 1, então subtraindo as probabilidades de 0 e 1 sucesso, sobra a probabilidade de 2 ou mais sucessos.

Passo 4

Vamos calcular P(X = 0), ou seja, a probabilidade de nenhuma das 4 mulheres preferir a leitura:
P(X = 0) = binom40 times (0,41)^0 times (1 - 0,41)^4-0
P(X = 0) = 1 times 1 times (0,59)^4 approx 0,121

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X = 1), a probabilidade de exatamente uma mulher preferir a leitura:
P(X = 1) = binom41 times (0,41)^1 times (1 - 0,41)^4-1
P(X = 1) = 4 times 0,41 times (0,59)^3 approx 0,342

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de 0 e 1 sucesso e subtraímos de 1:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0,121 - 0,342 = 0,537

Passo 7

Arredondando para três casas decimais, temos:
P(X >= 2) approx 0,537

Resposta

A probabilidade de que no mínimo duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de aproximadamente 0,537.

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