A massa de uma amostra radioativa é de 40 g. Após quanto tempo de desintegração 8 g do material radioativo, sabendo que a meia-vida é de 3 h?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma amostra de material radioativo que pesa 40 gramas. Queremos descobrir quanto tempo leva para que 8 gramas desse material se decomponham, sabendo que a meia-vida desse material é de 3 horas. A gente vai usar conceitos de meia-vida e decaimento exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade de um material radioativo se decompor. No nosso caso, a meia-vida é de 3 horas. Isso significa que a cada 3 horas, a quantidade de material radioativo reduz pela metade.

Passo 3

Vamos identificar o que queremos encontrar. Temos 40 g inicialmente e queremos que 8 g se decomponham. Isso significa que restarão 32 g do material após a decomposição (40 g - 8 g = 32 g).

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial, que relaciona a quantidade restante com o tempo:
M(t) = M0 times (12)^tt1/2
Onde:
- $ M(t) $ é a massa restante após o tempo $ t $
- $ M_0 $ é a massa inicial
- $ t_{1/2} $ é a meia-vida

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
32 = 40 times (12)^t3
Vamos dividir os dois lados por 40 para isolar a potência:
3240 = (12)^t3
Simplificando:
0,8 = (12)^t3

Passo 6

Para resolver para $ t $, vamos usar o logaritmo natural dos dois lados da equação:
t
Isolando $ t $:
ln(0,8) = t3 times ln(12)

Passo 7

Calculando os valores dos logaritmos:
ln(0,8) approx -0,22314
ln(12) approx -0,693147
Substituindo na equação:
t = 3 times -0,22314-0,693147
t approx 3 times 0,32193
t approx 0,9658 horas

Resposta

O tempo necessário para que 8 gramas do material radioativo se decomponham é aproximadamente 58 minutos.

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