Uma massa de 0.2 kg de nitrogênio (
e massa molecular igual a
) inicialmente à temperatura de
e pressão de 1 atm sofre as seguintes transformações:
: compressão isotérmica reversível até que
;
: compressão adiabática reversível até que
. (a) represente as duas transformações no plano
e no plano TS. (b) Calcule os valores da pressão e da temperatura no final das transformações isotérmica e adiabática. © Qual a variação da energia interna do gás ao final de cada uma dessas transformações? (d) Qual a variação da entropia do gás e da entropia do universo em cada uma dessas transformações?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa de 0,2 kg de nitrogênio que passa por duas transformações: uma compressão isotérmica e depois uma adiabática. O conteúdo aqui é de Termodinâmica, especificamente sobre transformações gasosas. Vamos precisar das leis dos gases ideais, das equações para processos isotérmicos e adiabáticos, e entender um pouco sobre energia interna e entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Massa do gás, $ m = 0,2 $ kg
- Massa molecular do nitrogênio, $ M = 28 , g/mol $
- Relação de calores, $ \gamma = 1,4 $
- Temperatura inicial, $ T_1 = 15^\circ C = 288 , K $
- Pressão inicial, $ P_1 = 1 , atm $
- Volume inicial, $ V_1 $ (vamos manter como $ V_1 $ para facilitar)
Primeiro, precisamos calcular a quantidade de mols e o volume inicial usando a equação dos gases ideais.
Passo 3
Vamos calcular a quantidade de mols ($ n $) do nitrogênio:
Convertendo a massa molecular para kg/mol:
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar o volume inicial ($ V_1 $):
Onde $ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $.
Convertendo para litros:
Passo 5
Vamos para a transformação $ 1 \rightarrow 2 $: compressão isotérmica até que $ V_2 = \frac{V_1}{2} $.
Como é isotérmica, a temperatura permanece a mesma ($ T_2 = T_1 $).
Usamos a relação:
Sabendo que $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, substituímos:
Então,
Passo 6
Agora, para a transformação $ 2 \rightarrow 3 $: compressão adiabática até que $ V_3 = \frac{V_1}{4} $.
Em um processo adiabático, não há troca de calor, e a relação entre temperatura e volume é dada por:
Também podemos relacionar as pressões:
Primeiro, precisamos encontrar $ T_2 $ e $ P_2 $ para aplicar.
Sabemos que após a transformação isotérmica, $ T_2 = T_1 = 288 , K $ e $ P_2 = 2 , atm $.
Agora, aplicamos a relação adiabática:
Sabendo que $ V_3 = \frac{V_1}{4} $ e $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, substituímos:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ P_3 $ usando a relação adiabática:
Sabendo que $ P_2 = 2 , atm $, $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, e $ V_3 = \frac{V_1}{4} $:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos para a parte ©: calcular a variação da energia interna ($ \Delta U $) em cada transformação.
A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. A mudança na energia interna é dada por:
Onde $ C_v = \frac{R}{\gamma - 1} $
Calculando $ C_v $:
Vamos converter $ C_v $ para J/mol·K:
Na transformação isotérmica ($ 1 \rightarrow 2 $):
Na transformação adiabática ($ 2 \rightarrow 3 $):
Passo 9
Por último, a parte (d): variação da entropia do gás e da entropia do universo em cada transformação.
Para a entropia do gás ($ \Delta S $):
Na transformação isotérmica:
Na transformação adiabática:
Para a entropia do universo:
Na transformação isotérmica:
Como é reversível, a variação da entropia do universo também é zero.
Na transformação adiabática:
Também é zero, pois não há troca de calor e é um processo reversível.
Resposta
(a) As duas transformações são representadas no diagrama $ PV $ como duas curvas: a compressão isotérmica é uma hipérbole descendo até metade do volume, e a adiabática é uma curva mais íngreme descendo até um quarto do volume. No diagrama $ TS $, a isotérmica é uma linha horizontal (temperatura constante) e a adiabática é uma linha vertical (entropia constante).
(b) Ao final da compressão isotérmica ($ 1 \rightarrow 2 $):
- Pressão $ P_2 = 2 , atm $
- Temperatura $ T_2 = 15^\circ C $
Ao final da compressão adiabática ($ 2 \rightarrow 3 $):
- Pressão $ P_3 \approx 5,28 , atm $
- Temperatura $ T_3 \approx 380 , K $
© Variação da energia interna:
- Na transformação isotérmica: $ \Delta U = 0 $
- Na transformação adiabática: $ \Delta U \approx 13.606 , J $
(d) Variação da entropia:
- Na transformação isotérmica:
- Entropia do gás: $ \Delta S \approx -41,32 , J/K $
- Entropia do universo: $ \Delta S_{universo} = 0 $
- Na transformação adiabática:
- Entropia do gás: $ \Delta S = 0 $
- Entropia do universo: $ \Delta S_{universo} = 0 $