Uma massa de 0.2 kg de nitrogênio ( gamma=1.4 e massa molecular igual a 28 g / mol ) inicialmente à temperatura de 15^circ C e pressão de 1 atm sofre as seguintes transformações: 1 2 : compressão isotérmica reversível até que V2=V1 / 2; 2 3 : compressão adiabática reversível até que V3=V1 / 4. (a) represente as duas transformações no plano P V e no plano TS. (b) Calcule os valores da pressão e da temperatura no final das transformações isotérmica e adiabática. © Qual a variação da energia interna do gás ao final de cada uma dessas transformações? (d) Qual a variação da entropia do gás e da entropia do universo em cada uma dessas transformações?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa de 0,2 kg de nitrogênio que passa por duas transformações: uma compressão isotérmica e depois uma adiabática. O conteúdo aqui é de Termodinâmica, especificamente sobre transformações gasosas. Vamos precisar das leis dos gases ideais, das equações para processos isotérmicos e adiabáticos, e entender um pouco sobre energia interna e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Massa do gás, $ m = 0,2 $ kg
  • Massa molecular do nitrogênio, $ M = 28 , g/mol $
  • Relação de calores, $ \gamma = 1,4 $
  • Temperatura inicial, $ T_1 = 15^\circ C = 288 , K $
  • Pressão inicial, $ P_1 = 1 , atm $
  • Volume inicial, $ V_1 $ (vamos manter como $ V_1 $ para facilitar)
Primeiro, precisamos calcular a quantidade de mols e o volume inicial usando a equação dos gases ideais.

Passo 3

Vamos calcular a quantidade de mols ($ n $) do nitrogênio:
n
Convertendo a massa molecular para kg/mol:
n = mM
Então,
M = 28 , g/mol = 0,028 , kg/mol

Passo 4

Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar o volume inicial ($ V_1 $):
V1
Onde $ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $.
Convertendo para litros:
PV = nRT

Passo 5

Vamos para a transformação $ 1 \rightarrow 2 $: compressão isotérmica até que $ V_2 = \frac{V_1}{2} $.
Como é isotérmica, a temperatura permanece a mesma ($ T_2 = T_1 $).
Usamos a relação:
1 2
Sabendo que $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, substituímos:
V2 = V12
Então,
T2 = T1

Passo 6

Agora, para a transformação $ 2 \rightarrow 3 $: compressão adiabática até que $ V_3 = \frac{V_1}{4} $.
Em um processo adiabático, não há troca de calor, e a relação entre temperatura e volume é dada por:
2 3
Também podemos relacionar as pressões:
V3 = V14
Primeiro, precisamos encontrar $ T_2 $ e $ P_2 $ para aplicar.
Sabemos que após a transformação isotérmica, $ T_2 = T_1 = 288 , K $ e $ P_2 = 2 , atm $.
Agora, aplicamos a relação adiabática:
T V^gamma - 1 = constante
Sabendo que $ V_3 = \frac{V_1}{4} $ e $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, substituímos:
P V^gamma = constante
Calculando:
T2

Passo 7

Agora, vamos calcular $ P_3 $ usando a relação adiabática:
P3
Sabendo que $ P_2 = 2 , atm $, $ V_2 = \frac{V_1}{2} $, e $ V_3 = \frac{V_1}{4} $:
P2 V2^gamma = P3 V3^gamma
Calculando:
P2 = 2 , atm

Passo 8

Agora, vamos para a parte ©: calcular a variação da energia interna ($ \Delta U $) em cada transformação.
A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. A mudança na energia interna é dada por:
De
Onde $ C_v = \frac{R}{\gamma - 1} $
Calculando $ C_v $:
De
Vamos converter $ C_v $ para J/mol·K:
Cv = Rgamma - 1
Cv
Na transformação isotérmica ($ 1 \rightarrow 2 $):
Cv = 0,08211,4 - 1 = 0,08210,4 approx 0,2053 , L·atm/mol·K
Cv
Na transformação adiabática ($ 2 \rightarrow 3 $):
1 , L·atm = 101,325 , J
Cv approx 0,2053 times 101,325 approx 20,78 , J/mol·K

Passo 9

Por último, a parte (d): variação da entropia do gás e da entropia do universo em cada transformação.
Para a entropia do gás ($ \Delta S $):
Na transformação isotérmica:
De
De
Na transformação adiabática:
De (porque é reversível e adiabática)
Para a entropia do universo:
Na transformação isotérmica:
Como é reversível, a variação da entropia do universo também é zero.
Na transformação adiabática:
Também é zero, pois não há troca de calor e é um processo reversível.

Resposta

(a) As duas transformações são representadas no diagrama $ PV $ como duas curvas: a compressão isotérmica é uma hipérbole descendo até metade do volume, e a adiabática é uma curva mais íngreme descendo até um quarto do volume. No diagrama $ TS $, a isotérmica é uma linha horizontal (temperatura constante) e a adiabática é uma linha vertical (entropia constante).
(b) Ao final da compressão isotérmica ($ 1 \rightarrow 2 $):
  • Pressão $ P_2 = 2 , atm $
  • Temperatura $ T_2 = 15^\circ C $
Ao final da compressão adiabática ($ 2 \rightarrow 3 $):
  • Pressão $ P_3 \approx 5,28 , atm $
  • Temperatura $ T_3 \approx 380 , K $
© Variação da energia interna:
  • Na transformação isotérmica: $ \Delta U = 0 $
  • Na transformação adiabática: $ \Delta U \approx 13.606 , J $
(d) Variação da entropia:
  • Na transformação isotérmica:
    • Entropia do gás: $ \Delta S \approx -41,32 , J/K $
    • Entropia do universo: $ \Delta S_{universo} = 0 $
  • Na transformação adiabática:
    • Entropia do gás: $ \Delta S = 0 $
    • Entropia do universo: $ \Delta S_{universo} = 0 $

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