Num ciclo de Carnot, a expansão isotérmica do gás ocorreu a 400 K e a compressão isotérmica a 300 K . Durante a expansão, 500 cal de energia térmica foram transferidas para o gás. Determine: (a) o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica; (b) o calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica; © o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica e (d) a variação da entropia do gás e do universo para cada uma das quatro etapas do ciclo e para o ciclo completo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot! A gente vai trabalhar com processos isotérmicos de expansão e compressão a diferentes temperaturas. Vamos precisar das leis da termodinâmica, especialmente a primeira lei, e das fórmulas específicas para o ciclo de Carnot. Também vamos usar conceitos de entropia. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ciclo de Carnot. É um ciclo termodinâmico ideal que consiste em duas expansões isotérmicas (uma a alta temperatura e outra a baixa) e duas compressões adiabáticas. No nosso caso, estamos focando nas expansões e compressões isotérmicas.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): determinar o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica a 400 K, onde 500 cal de energia térmica foram transferidas para o gás.
A gente sabe que, num processo isotérmico para um gás ideal, o trabalho $ W $ realizado pelo gás é dado por:
Mas na verdade, a fórmula correta é:
No entanto, como não temos informações sobre volumes ou quantidade de mols, podemos usar a relação entre trabalho e calor em processos isotérmicos. Para um processo isotérmico, a variação da energia interna $ \Delta U = 0 $ (porque a temperatura é constante). Assim, pela primeira lei da termodinâmica:
Portanto, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica é igual ao calor absorvido.
Passo 4
Então, para a parte (a):
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): determinar o calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica a 300 K.
Novamente, usando a primeira lei da termodinâmica para um processo isotérmico ($ \Delta U = 0 $):
Mas precisamos relacionar $ Q_C $ com $ Q_H $. No ciclo de Carnot, a relação entre os calores nas duas temperaturas é dada por:
Onde:
- $ Q_H = 500 , cal $ (calor absorvido na expansão a 400 K)
- $ T_H = 400 , K $
- $ T_C = 300 , K $
Vamos rearranjar para encontrar $ Q_C $:
Passo 6
Então, o calor rejeitado durante a compressão isotérmica é 375 cal.
Passo 7
Passando para a parte ©: determinar o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica a 300 K.
Sabemos que, durante a compressão isotérmica, o trabalho $ W_C $ é igual ao calor rejeitado $ Q_C $:
Mas, como é trabalho realizado sobre o gás, consideramos o sinal como positivo.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (d): determinar a variação da entropia do gás e do universo para cada uma das quatro etapas do ciclo e para o ciclo completo.
Primeiro, a variação de entropia $ \Delta S $ em um processo isotérmico é dada por:
Vamos calcular para cada processo:
-
Expansão isotérmica a 400 K:
- $ Q_H = 500 , cal $
- $ \Delta S_H = \frac{500}{400} = 1,25 , cal/K $
-
Compressão adiabática (não há troca de calor):
- $ Q = 0 $
- $ \Delta S = 0 $
-
Compressão isotérmica a 300 K:
- $ Q_C = 375 , cal $
- $ \Delta S_C = \frac{-375}{300} = -1,25 , cal/K $
(O sinal negativo porque o calor está sendo rejeitado)
-
Expansão adiabática (não há troca de calor):
- $ Q = 0 $
- $ \Delta S = 0 $
Para o ciclo completo:
-
Variação total da entropia do gás:
-
Variação total da entropia do universo:
No ciclo de Carnot, que é um ciclo reversível, a variação da entropia do universo também é zero.
Resposta
(a) O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica é 500 cal.
(b) O calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica é 375 cal.
© O trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica é 375 cal.
(d) As variações de entropia são:
-
Expansão isotérmica a 400 K:
- Gás: $ \Delta S = 1,25 , cal/K $
- Universo: $ \Delta S = 1,25 , cal/K $
-
Compressão adiabática:
- Gás: $ \Delta S = 0 , cal/K $
- Universo: $ \Delta S = 0 , cal/K $
-
Compressão isotérmica a 300 K:
- Gás: $ \Delta S = -1,25 , cal/K $
- Universo: $ \Delta S = -1,25 , cal/K $
-
Expansão adiabática:
- Gás: $ \Delta S = 0 , cal/K $
- Universo: $ \Delta S = 0 , cal/K $
-
Ciclo completo:
- Gás: $ \Delta S_{total} = 0 , cal/K $
- Universo: $ \Delta S_{total} = 0 , cal/K $