Num ciclo de Carnot, a expansão isotérmica do gás ocorreu a 400 K e a compressão isotérmica a 300 K . Durante a expansão, 500 cal de energia térmica foram transferidas para o gás. Determine: (a) o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica; (b) o calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica; © o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica e (d) a variação da entropia do gás e do universo para cada uma das quatro etapas do ciclo e para o ciclo completo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot! A gente vai trabalhar com processos isotérmicos de expansão e compressão a diferentes temperaturas. Vamos precisar das leis da termodinâmica, especialmente a primeira lei, e das fórmulas específicas para o ciclo de Carnot. Também vamos usar conceitos de entropia. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ciclo de Carnot. É um ciclo termodinâmico ideal que consiste em duas expansões isotérmicas (uma a alta temperatura e outra a baixa) e duas compressões adiabáticas. No nosso caso, estamos focando nas expansões e compressões isotérmicas.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): determinar o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica a 400 K, onde 500 cal de energia térmica foram transferidas para o gás.
A gente sabe que, num processo isotérmico para um gás ideal, o trabalho $ W $ realizado pelo gás é dado por:
W
Mas na verdade, a fórmula correta é:
W = Q times TT = Q
No entanto, como não temos informações sobre volumes ou quantidade de mols, podemos usar a relação entre trabalho e calor em processos isotérmicos. Para um processo isotérmico, a variação da energia interna $ \Delta U = 0 $ (porque a temperatura é constante). Assim, pela primeira lei da termodinâmica:
W = nRT ln(VfVi)
Portanto, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica é igual ao calor absorvido.

Passo 4

Então, para a parte (a):
W = Q = 500 , cal

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): determinar o calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica a 300 K.
Novamente, usando a primeira lei da termodinâmica para um processo isotérmico ($ \Delta U = 0 $):
De
Mas precisamos relacionar $ Q_C $ com $ Q_H $. No ciclo de Carnot, a relação entre os calores nas duas temperaturas é dada por:
0 = QC - WC Rightarrow QC = WC
Onde:
  • $ Q_H = 500 , cal $ (calor absorvido na expansão a 400 K)
  • $ T_H = 400 , K $
  • $ T_C = 300 , K $
Vamos rearranjar para encontrar $ Q_C $:
QC

Passo 6

Então, o calor rejeitado durante a compressão isotérmica é 375 cal.

Passo 7

Passando para a parte ©: determinar o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica a 300 K.
Sabemos que, durante a compressão isotérmica, o trabalho $ W_C $ é igual ao calor rejeitado $ Q_C $:
WC
Mas, como é trabalho realizado sobre o gás, consideramos o sinal como positivo.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (d): determinar a variação da entropia do gás e do universo para cada uma das quatro etapas do ciclo e para o ciclo completo.
Primeiro, a variação de entropia $ \Delta S $ em um processo isotérmico é dada por:
De
Vamos calcular para cada processo:
  1. Expansão isotérmica a 400 K:
    • $ Q_H = 500 , cal $
    • $ \Delta S_H = \frac{500}{400} = 1,25 , cal/K $
  2. Compressão adiabática (não há troca de calor):
    • $ Q = 0 $
    • $ \Delta S = 0 $
  3. Compressão isotérmica a 300 K:
    • $ Q_C = 375 , cal $
    • $ \Delta S_C = \frac{-375}{300} = -1,25 , cal/K $
      (O sinal negativo porque o calor está sendo rejeitado)
  4. Expansão adiabática (não há troca de calor):
    • $ Q = 0 $
    • $ \Delta S = 0 $
Para o ciclo completo:
  • Variação total da entropia do gás:
    Deá
  • Variação total da entropia do universo:
    No ciclo de Carnot, que é um ciclo reversível, a variação da entropia do universo também é zero.

Resposta

(a) O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica é 500 cal.
(b) O calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica é 375 cal.
© O trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica é 375 cal.
(d) As variações de entropia são:
  • Expansão isotérmica a 400 K:
    • Gás: $ \Delta S = 1,25 , cal/K $
    • Universo: $ \Delta S = 1,25 , cal/K $
  • Compressão adiabática:
    • Gás: $ \Delta S = 0 , cal/K $
    • Universo: $ \Delta S = 0 , cal/K $
  • Compressão isotérmica a 300 K:
    • Gás: $ \Delta S = -1,25 , cal/K $
    • Universo: $ \Delta S = -1,25 , cal/K $
  • Expansão adiabática:
    • Gás: $ \Delta S = 0 , cal/K $
    • Universo: $ \Delta S = 0 , cal/K $
  • Ciclo completo:
    • Gás: $ \Delta S_{total} = 0 , cal/K $
    • Universo: $ \Delta S_{total} = 0 , cal/K $

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