Uma massa M é dividida em duas partes, m e M-m, que são em seguida separadas por uma certa distância. Qual é a razão m/M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes?

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema onde uma massa total $ M $ é dividida em duas partes: $ m $ e $ M - m $. Essas duas partes são separadas por uma certa distância. A questão nos pede para descobrir qual a razão $ \frac{m}{M} $ que faz com que a força gravitacional entre elas seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei da Gravitação Universal e usar um pouco de cálculo para otimizar a expressão da força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional entre duas massas:
F = G m1 m2r^2
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas, e $ r $ é a distância entre elas. No nosso caso, $ m_1 = m $ e $ m_2 = M - m $.

Passo 3

Substituindo na fórmula, a força fica:
F = G m (M - m)r^2
Queremos maximizar $ F $ em função de $ m $. Como $ G $ e $ r^2 $ são constantes, vamos focar em maximizar a expressão $ m (M - m) $.

Passo 4

Vamos definir $ f(m) = m (M - m) $. Para encontrar o valor de $ m $ que maximiza $ f(m) $, vamos derivar $ f(m) $ em relação a $ m $ e igualar a zero:
f(m) = m (M - m)
Igualando a derivada a zero:
m

Passo 5

Agora, queremos a razão $ \frac{m}{M} $. Substituindo $ m = \frac{M}{2} $:
mM
Isso mostra que a força gravitacional é máxima quando cada parte tem metade da massa total.

Resposta

A razão $ \frac{m}{M} $ que maximiza a força gravitacional entre as partes é $ \frac{1}{2} $.

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