Uma massa M é dividida em duas partes, m e M-m, que são em seguida separadas por uma certa distância. Qual é a razão m/M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes?
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema onde uma massa total $ M $ é dividida em duas partes: $ m $ e $ M - m $. Essas duas partes são separadas por uma certa distância. A questão nos pede para descobrir qual a razão $ \frac{m}{M} $ que faz com que a força gravitacional entre elas seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei da Gravitação Universal e usar um pouco de cálculo para otimizar a expressão da força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional entre duas massas:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas, e $ r $ é a distância entre elas. No nosso caso, $ m_1 = m $ e $ m_2 = M - m $.
Passo 3
Substituindo na fórmula, a força fica:
Queremos maximizar $ F $ em função de $ m $. Como $ G $ e $ r^2 $ são constantes, vamos focar em maximizar a expressão $ m (M - m) $.
Passo 4
Vamos definir $ f(m) = m (M - m) $. Para encontrar o valor de $ m $ que maximiza $ f(m) $, vamos derivar $ f(m) $ em relação a $ m $ e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Agora, queremos a razão $ \frac{m}{M} $. Substituindo $ m = \frac{M}{2} $:
Isso mostra que a força gravitacional é máxima quando cada parte tem metade da massa total.
Resposta
A razão $ \frac{m}{M} $ que maximiza a força gravitacional entre as partes é $ \frac{1}{2} $.