As massas e as coordenadas de quatro particulas são as seguintes: 50 g , x=2,0 cm, y=2,0 cm ; 25 g, x=0, y=4,0 cm ; 25 g, x=-3,0 cm, y=-3,0 cm ; 30 g, x=-2,0 cm, y=4,0 cm. Qual é o momento de inércia deste conjunto em relação ao (a) eixo x; (b) eixo y e © eixo z ?
Resp.: (a) 1305 g cm^2; (b) 545 g cm^2; © 1850 g cm^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos quatro partículas com massas e coordenadas específicas e queremos calcular o momento de inércia desse conjunto em relação aos eixos , e . Para isso, vamos usar conceitos de física de rotação, especificamente a fórmula do momento de inércia para partículas pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Para partículas pontuais, a fórmula é:
I = sum mi cdot ri^2
onde é a massa da partícula e é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Ix = sum mi cdot yi^2 . Nesse caso, a distância de cada partícula ao eixo é a coordenada . Então, a fórmula fica:
Vamos aplicar isso para cada partícula.

Passo 4

Para o eixo Iy = sum mi cdot xi^2 , a distância de cada partícula é a coordenada . Assim, a fórmula é:
Vamos calcular para cada partícula usando os valores dados.

Passo 5

Agora, para o eixo ri = raizxi^2 + yi^2 , que é perpendicular ao plano Iz = sum mi cdot (xi^2 + yi^2) , a distância de cada partícula ao eixo é a distância euclidiana ao plano, ou seja:
Então, o momento de inércia em relação ao eixo é:

Passo 6

Vamos fazer os cálculos:
Para Ix = (50 times 2.0^2) + (25 times 4.0^2) + (25 times (-3.0)^2) + (30 times 4.0^2) :
Ix = (50 times 4) + (25 times 16) + (25 times 9) + (30 times 16)
Ix = 200 + 400 + 225 + 480 = 1305 , g cm^2
Iy = (50 times 2.0^2) + (25 times 0^2) + (25 times (-3.0)^2) + (30 times (-2.0)^2)
Para Iy = (50 times 4) + (25 times 0) + (25 times 9) + (30 times 4) :
Iy = 200 + 0 + 225 + 120 = 545 , g cm^2
Iz = (50 times (2.0^2 + 2.0^2)) + (25 times (0^2 + 4.0^2)) + (25 times ((-3.0)^2 + (-3.0)^2)) + (30 times ((-2.0)^2 + 4.0^2))
Iz = (50 times (4 + 4)) + (25 times (0 + 16)) + (25 times (9 + 9)) + (30 times (4 + 16))
Para Iz = (50 times 8) + (25 times 16) + (25 times 18) + (30 times 20) :
Iz = 400 + 400 + 450 + 600 = 1850 , g cm^2

Resposta

(a) ;
(b) ;
© .

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