As massas e as coordenadas de quatro particulas são as seguintes: 50 g ,
. Qual é o momento de inércia deste conjunto em relação ao (a) eixo
; (b) eixo y e © eixo
?
Resp.: (a)
; (b)
; ©
.
Resp.: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos quatro partículas com massas e coordenadas específicas e queremos calcular o momento de inércia desse conjunto em relação aos eixos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de física de rotação, especificamente a fórmula do momento de inércia para partículas pontuais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Para partículas pontuais, a fórmula é:
onde
é a massa da partícula e
é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Nesse caso, a distância
de cada partícula ao eixo
é a coordenada
. Então, a fórmula fica:
Vamos aplicar isso para cada partícula.
Passo 4
Para o eixo
, a distância de cada partícula é a coordenada
. Assim, a fórmula é:
Vamos calcular para cada partícula usando os valores dados.
Passo 5
Agora, para o eixo
, que é perpendicular ao plano
, a distância de cada partícula ao eixo
é a distância euclidiana ao plano, ou seja:
Então, o momento de inércia em relação ao eixo
é:
Passo 6
Vamos fazer os cálculos:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
(a)
;
(b) ;
© .
(b)
©
Exercícios relacionados
Três barras finas de mesmo comprimento
estão dispostas em forma de um pelos centros de massa destas; © perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao plano da página, passando pelo centro de massa do sistema:
e
considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda).
Resp.: (a) , (2/3)
e
; (b) (11/12)
e (3/4)
; ©
, (17/12)
; (d)
.
Resp.: (a)
Suponha que o sistema do problema anterior seja posto em movimento de rotação em relação aos eixos ali considerados. Tome
e
. (a) Sabendo que a energia cinética de rotação desse sistema vale 1.0 kJ , escolha os eixos em relação aos quais a velocidade angular será mínima ou máxima, e calcule essas velocidades. (b) Sabendo que a velocidade angular desse sistema vale
, escolha os eixos em relação aos quais a energia cinética de rotação será mínima ou máxima, e calcule essas energias cinéticas.
Resp.: (a) e
; (b)
e
.
Resp.: (a)
Uma pessoa que está andando de roda-gigante passa pelas seguintes posições: (1) o ponto mais alto da roda, (2) o ponto mais baixo da roda, (3) o ponto médio da roda. Se a roda está girando com velocidade angular constante, ordene as três posições, em ordem decrescente, (a) de acordo com o módulo da aceleração centrípeta da pessoa; (b) de acordo com o módulo da força centrípeta resultante a que a pessoa está sujeita; © de acordo com o módulo da força normal a que a pessoa está sujeita.
Um caixote está em uma rampa que faz um ângulo
com a horizontal. Quando
é aumentado a partir de zero, e antes que o caixote comece a escorregar, o valor das grandezas a seguir aumenta, diminui ou permanece o mesmo: (a) a componente paralela à rampa da força gravitacional que age sobre o caixote; (b) o módulo da força de atrito estático que a rampa exerce sobre o caixote; © a componente perpendicular à rampa da força gravitacional que age sobre o caixote; (d) o módulo da força normal que a rampa exerce sobre o caixote; (e) o valor máximo
da força de atrito estático?