Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume da pilha.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos um material formando uma pilha em formato de cone, onde a altura sempre é igual ao raio da base. Queremos descobrir como o raio muda quando o volume da pilha aumenta em
. Para isso, vamos usar diferenciais, que são uma ferramenta da Cálculo Diferencial para entender como pequenas mudanças em uma variável afetam outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone. O volume
de um cone com raio da base
e altura
é dado por:
Passo 3
Sabemos que a altura
é igual ao raio
, então podemos substituir
por
na fórmula:
Passo 4
Agora, queremos encontrar como uma pequena mudança no volume (
) está relacionada a uma pequena mudança no raio (
). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação a
:
Passo 5
Os diferenciais relacionam essas mudanças da seguinte forma:
Passo 6
Queremos que o aumento no volume seja
, ou seja,
. Sabemos que no instante considerado,
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A variação do raio que causa um aumento de
no volume é: