Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm^3 no volume da pilha.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos um material formando uma pilha em formato de cone, onde a altura sempre é igual ao raio da base. Queremos descobrir como o raio muda quando o volume da pilha aumenta em . Para isso, vamos usar diferenciais, que são uma ferramenta da Cálculo Diferencial para entender como pequenas mudanças em uma variável afetam outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone. O volume de um cone com raio da base e altura é dado por:

Passo 3

Sabemos que a altura é igual ao raio , então podemos substituir por na fórmula:

Passo 4

Agora, queremos encontrar como uma pequena mudança no volume ( ) está relacionada a uma pequena mudança no raio ( ). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação a :

Passo 5

Os diferenciais relacionam essas mudanças da seguinte forma:

Passo 6

Queremos que o aumento no volume seja , ou seja, . Sabemos que no instante considerado, . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A variação do raio que causa um aumento de no volume é:

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