Uma escada de está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior da escada estará descendo quando o pé da escada estiver a da parede?

Passo 1

Então, a gente tem uma escada de 8 metros encostada numa parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade constante de 2 metros por segundo. A pergunta é: quando a base estiver a 3 metros da parede, com que velocidade o topo da escada está descendo? Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação como um triângulo retângulo, onde a escada é a hipotenusa. Chamemos a distância da base da escada à parede de e a altura do topo da escada na parede de . Sabemos que a escada tem 8 metros, então podemos usar o Teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, queremos encontrar como a altura muda em relação ao tempo quando metros. Para isso, vamos derivar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo :

Passo 4

Simplificamos a derivada dividindo tudo por 2:
Agora, isolamos :

Passo 5

Sabemos que m/s e m. Precisamos encontrar quando m. Usando :

Passo 6

Agora, substituímos , e m/s na equação de :

Resposta

A velocidade com que a extremidade superior da escada está descendo é de aproximadamente metros por segundo, ou cerca de -0,81 m/s.

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Encontre valores aproximados para as raízes abaixo:
4.1)
|4.2)
| 4.3)
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de , use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de no volume da pilha.
Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1) ;
19.2) .
Mostrar que

tem seu máximo em para todos os números .