Uma escada de
está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de
, com que velocidade a extremidade superior da escada estará descendo quando o pé da escada estiver a
da parede?
Passo 1
Então, a gente tem uma escada de 8 metros encostada numa parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade constante de 2 metros por segundo. A pergunta é: quando a base estiver a 3 metros da parede, com que velocidade o topo da escada está descendo? Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação como um triângulo retângulo, onde a escada é a hipotenusa. Chamemos a distância da base da escada à parede de
e a altura do topo da escada na parede de
. Sabemos que a escada tem 8 metros, então podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, queremos encontrar como a altura
muda em relação ao tempo quando
metros. Para isso, vamos derivar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo
:
Passo 4
Simplificamos a derivada dividindo tudo por 2:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Sabemos que
m/s e
m. Precisamos encontrar
quando
m. Usando
:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
m/s na equação de
:
Resposta
A velocidade com que a extremidade superior da escada está descendo é de aproximadamente
metros por segundo, ou cerca de -0,81 m/s.
Exercícios relacionados
Encontre valores aproximados para as raízes abaixo:
4.1)
|4.2)
| 4.3)
4.1)
|4.2)
| 4.3)
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume da pilha.
Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1) ;
19.2) .
19.1)
19.2)
Mostrar que
tem seu máximo em para todos os números
.
tem seu máximo em