Uma matriz A é chamada de nilpotente se existe algum natural n tal que A^n é a matriz nula. De exemplos matrize 2 times 2, não nulas, que sejam nilpotentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de matrizes 2x2 que são nilpotentes. Uma matriz é chamada de nilpotente quando, ao multiplicá-la por ela mesma um certo número de vezes, a gente acaba com a matriz nula (todos os elementos iguais a zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser nilpotente e como podemos construir essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 2x2 tem a seguinte forma:
A = a & b c & d
Para que a matriz seja nilpotente, precisamos que exista um número natural tal que seja a matriz nula. No caso das matrizes 2x2, geralmente conseguimos isso com ou . Vamos tentar encontrar matrizes onde .

Passo 3

Vamos começar com uma matriz bem simples. Que tal uma matriz com 0 na diagonal e números diferentes de zero nos outros lugares? Por exemplo:
A = 0 & 1 0 & 0
Agora, vamos calcular A^2 = A times A = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 = 0 & 0 0 & 0 :

[
A^2 = A \times A =
\times


]
Viu só? é a matriz nula, então essa matriz é nilpotente.

Passo 4

Vamos dar mais um exemplo para ficar mais claro. Considere a seguinte matriz:
B = 0 & 0 1 & 0
Calculando B^2 = B times B = 0 & 0 1 & 0 times 0 & 0 1 & 0 = 0 times 0 + 0 times 1 & 0 times 0 + 0 times 0 1 times 0 + 0 times 1 & 1 times 0 + 0 times 0 = 0 & 0 0 & 0 :

[
B^2 = B \times B =
\times


]
Mais uma vez, é a matriz nula, então também é uma matriz nilpotente.

Passo 5

E só para variar um pouco, vamos ver um exemplo onde os elementos não são apenas 0 ou 1. Suponha a matriz:
C = 2 & -2 1 & -1
Vamos calcular C^2 = C times C = 2 & -2 1 & -1 times 2 & -2 1 & -1 = 2 times 2 + (-2) times 1 & 2 times (-2) + (-2) times (-1) 1 times 2 + (-1) times 1 & 1 times (-2) + (-1) times (-1) = 4 - 2 & -4 + 2 2 - 1 & -2 + 1 = 2 & -2 1 & -1 :

[
C^2 = C \times C =
\times


]
Ops! Parece que , então não é nilpotente. Isso mostra que nem toda matriz que parece simples é nilpotente; precisamos garantir que, ao multiplicar por ela mesma, realmente cheguemos à matriz nula.

Resposta

Dois exemplos de matrizes 2x2 nilpotentes, não nulas, são:
A = 0 & 1 0 & 0
e
B = 0 & 0 1 & 0

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