Uma matriz
é chamada de nilpotente se existe algum natural
tal que
é a matriz nula. De exemplos matrize
, não nulas, que sejam nilpotentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de matrizes 2x2 que são nilpotentes. Uma matriz é chamada de nilpotente quando, ao multiplicá-la por ela mesma um certo número de vezes, a gente acaba com a matriz nula (todos os elementos iguais a zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser nilpotente e como podemos construir essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 2x2 tem a seguinte forma:
Para que a matriz seja nilpotente, precisamos que exista um número natural
tal que
seja a matriz nula. No caso das matrizes 2x2, geralmente conseguimos isso com
ou
. Vamos tentar encontrar matrizes onde
.
Passo 3
Vamos começar com uma matriz bem simples. Que tal uma matriz com 0 na diagonal e números diferentes de zero nos outros lugares? Por exemplo:
Agora, vamos calcular
:
[
A^2 = A \times A =
\times
]
Viu só?
é a matriz nula, então essa matriz é nilpotente.
Passo 4
Vamos dar mais um exemplo para ficar mais claro. Considere a seguinte matriz:
Calculando
:
[
B^2 = B \times B =
\times
]
Mais uma vez,
é a matriz nula, então
também é uma matriz nilpotente.
Passo 5
E só para variar um pouco, vamos ver um exemplo onde os elementos não são apenas 0 ou 1. Suponha a matriz:
Vamos calcular
:
[
C^2 = C \times C =
\times
]
Ops! Parece que
, então
não é nilpotente. Isso mostra que nem toda matriz que parece simples é nilpotente; precisamos garantir que, ao multiplicar por ela mesma, realmente cheguemos à matriz nula.
Resposta
Dois exemplos de matrizes 2x2 nilpotentes, não nulas, são:
e