Uma matriz é chamada de nilpotente se existe algum natural tal que é a matriz nula. De exemplos matrize , não nulas, que sejam nilpotentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de matrizes 2x2 que são nilpotentes. Uma matriz é chamada de nilpotente quando, ao multiplicá-la por ela mesma um certo número de vezes, a gente acaba com a matriz nula (todos os elementos iguais a zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser nilpotente e como podemos construir essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 2x2 tem a seguinte forma:
Para que a matriz seja nilpotente, precisamos que exista um número natural tal que seja a matriz nula. No caso das matrizes 2x2, geralmente conseguimos isso com ou . Vamos tentar encontrar matrizes onde .

Passo 3

Vamos começar com uma matriz bem simples. Que tal uma matriz com 0 na diagonal e números diferentes de zero nos outros lugares? Por exemplo:
Agora, vamos calcular :

[
A^2 = A \times A =
\times


]
Viu só? é a matriz nula, então essa matriz é nilpotente.

Passo 4

Vamos dar mais um exemplo para ficar mais claro. Considere a seguinte matriz:
Calculando :

[
B^2 = B \times B =
\times


]
Mais uma vez, é a matriz nula, então também é uma matriz nilpotente.

Passo 5

E só para variar um pouco, vamos ver um exemplo onde os elementos não são apenas 0 ou 1. Suponha a matriz:
Vamos calcular :

[
C^2 = C \times C =
\times


]
Ops! Parece que , então não é nilpotente. Isso mostra que nem toda matriz que parece simples é nilpotente; precisamos garantir que, ao multiplicar por ela mesma, realmente cheguemos à matriz nula.

Resposta

Dois exemplos de matrizes 2x2 nilpotentes, não nulas, são:
e

Exercícios relacionados

Determine em cada caso os valores de que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a)
(b)
Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(i)
(j)
Uma fábrica de cosméticos produz dois tipos de cremes: Creme Facial e Creme Corporal. Ambos os cremes são feitos a partir de três ingredientes principais: Aloe Vera (A), Óleo de Coco (B) e Manteiga de Karité ©. A composição de cada tipo de creme em termos dos ingredientes é dada pela seguinte tabela:
Creme Aloe Vera (A) Óleo de Coco (B) Manteiga de Karité ©
Facial
Corporal
(a) Se a fábrica precisa produzir um pedido de de Creme Facial e de Creme Corporal, determine quantos quilos de cada ingrediente serão necessários para produzir este pedido. Descreva as operações realizadas em termos de oprações entre matrizes.
(b) A fábrica percebe que há de cada ingrediente que estão próximos do vencimento e decide fabricar a maior quantidade possível de produtos para evitar o desperdicio. Quantos quilos de cada tipo de crema deveriam fabricar?
Considere as seguintes matrizes
Verifique que as duas matrizes são equivalentes por linhas, determinando uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transformem em . (Sugestão: Transforme cada matriz em uma matriz na forma escalonada e depois reverta as operações para obter matriz B.)