Determine em cada caso os valores de k que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a) & k x+2 y=3 & 2 x-4 y=-6
(b) x-2 y+3 z & =2 x+y+z & =k 2 x-y+4 z & =k^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a)! A gente tem um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . A ideia é descobrir para quais valores de o sistema tem:
  • Solução única
  • Infinitas soluções
  • Sem solução
Para isso, vamos usar o método de determinantes ou regra de Cramer, que nos ajuda a identificar quando um sistema tem solução única ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
k x + 2 y = 3 2 x - 4 y = -6

Passo 3

Para saber se o sistema tem solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
De

Passo 4

  • Se -4k - 4 = 0 implies -4k = 4 implies k = -1 : O sistema tem solução única.
  • Se : Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :

Passo 5

  • Para -1 cdot x + 2 y = 3 2 x - 4 y = -6 : Como -2 x + 4 y = 6 2 x - 4 y = -6 , o sistema tem uma solução única.
  • Para 0 = 0 : Precisamos verificar se as equações são consistentes.
Vamos substituir no sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , envolvendo o parâmetro . Precisamos descobrir os valores de que fazem o sistema:
  • Ter solução única,
  • Ter infinitas soluções,
  • Não ter solução.
Para isso, vamos utilizar o método de determinantes novamente, agora aplicando a regra de Cramer para sistemas de três equações.

Passo 7

Vamos organizar o sistema:
x - 2 y + 3 z = 2 x + y + z = k 2 x - y + 4 z = k^2

Passo 8

A matriz dos coeficientes é:
De
Calculando De:
1 & 1 -1 & 4 = (1)(4) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5
Calculando os menores:
1 & 1 2 & 4 = (1)(4) - (1)(2) = 4 - 2 = 2
1 & 1 2 & -1 = (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3
De
Agora, substituindo:

Passo 9

Como , o sistema não tem solução única. Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos analisar mais a fundo.

Passo 10

Para que o sistema tenha infinitas soluções, os valores de 1 & -2 & 3 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & k 2 & -1 & 4 & | & k^2 devem satisfazer as equações de forma que uma seja combinação linear das outras.
Vamos montar a matriz aumentada e verificar:
1 & -2 & 3 & | & 2 0 & 3 & -2 & | & k-2 2 & -1 & 4 & | & k^2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
1 & -2 & 3 & | & 2 0 & 3 & -2 & | & k-2 0 & 3 & -2 & | & k^2 -4
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da terceira:
1 & -2 & 3 & | & 2 0 & 3 & -2 & | & k-2 0 & 0 & 0 & | & k^2 -4 - (k-2) = k^2 -k -2
Agora, subtraindo a segunda equação da terceira:
Para o sistema ser consistente (ter soluções), a última linha deve satisfazer .

Passo 11

Vamos resolver essa equação quadrática:
k^2 -k -2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então:
k1 = 1 + 32 = 2 e k2 = 1 - 32 = -1

Passo 12

  • Quando ou : A equação é satisfeita, e o sistema tem infinitas soluções.
  • Para qualquer outro valor de : A equação não é satisfeita, então o sistema não tem solução.

Resposta

  • Infinitas soluções quando ou .
  • Nenhuma solução para qualquer outro valor de .
  • O sistema não tem solução única para nenhum valor de .

Exercícios relacionados