Determine em cada caso os valores de que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a)! A gente tem um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . A ideia é descobrir para quais valores de o sistema tem:
Solução única
Infinitas soluções
Sem solução
Para isso, vamos usar o método de determinantes ou regra de Cramer, que nos ajuda a identificar quando um sistema tem solução única ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
Passo 3
Para saber se o sistema tem solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Passo 4
Se : O sistema tem solução única.
Se : Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :
Passo 5
Para : Como , o sistema tem uma solução única.
Para : Precisamos verificar se as equações são consistentes.
Vamos substituir no sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , envolvendo o parâmetro . Precisamos descobrir os valores de que fazem o sistema:
Ter solução única,
Ter infinitas soluções,
Não ter solução.
Para isso, vamos utilizar o método de determinantes novamente, agora aplicando a regra de Cramer para sistemas de três equações.
Passo 7
Vamos organizar o sistema:
Passo 8
A matriz dos coeficientes é:
Calculando :
Calculando os menores:
Agora, substituindo:
Passo 9
Como , o sistema não tem solução única. Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos analisar mais a fundo.
Passo 10
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os valores de devem satisfazer as equações de forma que uma seja combinação linear das outras.
Vamos montar a matriz aumentada e verificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da terceira:
Agora, subtraindo a segunda equação da terceira:
Para o sistema ser consistente (ter soluções), a última linha deve satisfazer .
Passo 11
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 12
Quando ou : A equação é satisfeita, e o sistema tem infinitas soluções.
Para qualquer outro valor de : A equação não é satisfeita, então o sistema não tem solução.
Resposta
Infinitas soluções quando ou .
Nenhuma solução para qualquer outro valor de .
O sistema não tem solução única para nenhum valor de .