Determine em cada caso os valores de que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a)! A gente tem um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . A ideia é descobrir para quais valores de o sistema tem:
  • Solução única
  • Infinitas soluções
  • Sem solução
Para isso, vamos usar o método de determinantes ou regra de Cramer, que nos ajuda a identificar quando um sistema tem solução única ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:

Passo 3

Para saber se o sistema tem solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:

Passo 4

  • Se : O sistema tem solução única.
  • Se : Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :

Passo 5

  • Para : Como , o sistema tem uma solução única.
  • Para : Precisamos verificar se as equações são consistentes.
Vamos substituir no sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , envolvendo o parâmetro . Precisamos descobrir os valores de que fazem o sistema:
  • Ter solução única,
  • Ter infinitas soluções,
  • Não ter solução.
Para isso, vamos utilizar o método de determinantes novamente, agora aplicando a regra de Cramer para sistemas de três equações.

Passo 7

Vamos organizar o sistema:

Passo 8

A matriz dos coeficientes é:
Calculando :
Calculando os menores:
Agora, substituindo:

Passo 9

Como , o sistema não tem solução única. Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos analisar mais a fundo.

Passo 10

Para que o sistema tenha infinitas soluções, os valores de devem satisfazer as equações de forma que uma seja combinação linear das outras.
Vamos montar a matriz aumentada e verificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da terceira:
Agora, subtraindo a segunda equação da terceira:
Para o sistema ser consistente (ter soluções), a última linha deve satisfazer .

Passo 11

Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 12

  • Quando ou : A equação é satisfeita, e o sistema tem infinitas soluções.
  • Para qualquer outro valor de : A equação não é satisfeita, então o sistema não tem solução.

Resposta

  • Infinitas soluções quando ou .
  • Nenhuma solução para qualquer outro valor de .
  • O sistema não tem solução única para nenhum valor de .

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Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(i)
(j)
Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e .
(b)


Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema mais do que uma solução?
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Creme Aloe Vera (A) Óleo de Coco (B) Manteiga de Karité ©
Facial
Corporal
(a) Se a fábrica precisa produzir um pedido de de Creme Facial e de Creme Corporal, determine quantos quilos de cada ingrediente serão necessários para produzir este pedido. Descreva as operações realizadas em termos de oprações entre matrizes.
(b) A fábrica percebe que há de cada ingrediente que estão próximos do vencimento e decide fabricar a maior quantidade possível de produtos para evitar o desperdicio. Quantos quilos de cada tipo de crema deveriam fabricar?