Determine em cada caso os valores de que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a)! A gente tem um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . A ideia é descobrir para quais valores de o sistema tem:
Solução única
Infinitas soluções
Sem solução
Para isso, vamos usar o método de determinantes ou regra de Cramer, que nos ajuda a identificar quando um sistema tem solução única ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
Passo 3
Para saber se o sistema tem solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Passo 4
Se -4k - 4 = 0 implies -4k = 4 implies k = -1 : O sistema tem solução única.
Se : Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :
Passo 5
Para -1 cdot x + 2 y = 3 2 x - 4 y = -6 : Como -2 x + 4 y = 6 2 x - 4 y = -6 , o sistema tem uma solução única.
Para 0 = 0 : Precisamos verificar se as equações são consistentes.
Vamos substituir no sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , envolvendo o parâmetro . Precisamos descobrir os valores de que fazem o sistema:
Ter solução única,
Ter infinitas soluções,
Não ter solução.
Para isso, vamos utilizar o método de determinantes novamente, agora aplicando a regra de Cramer para sistemas de três equações.
Passo 7
Vamos organizar o sistema:
x - 2 y + 3 z = 2 x + y + z = k 2 x - y + 4 z = k^2
Passo 8
A matriz dos coeficientes é:
De
Calculando De:
1 & 1 -1 & 4 = (1)(4) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5
Calculando os menores:
1 & 1 2 & 4 = (1)(4) - (1)(2) = 4 - 2 = 2
1 & 1 2 & -1 = (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3
De
Agora, substituindo:
Passo 9
Como , o sistema não tem solução única. Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos analisar mais a fundo.
Passo 10
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os valores de 1 & -2 & 3 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & k 2 & -1 & 4 & | & k^2 devem satisfazer as equações de forma que uma seja combinação linear das outras.