Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
(a)
A+D
(b)
A B
©
(B A)^T
(d)
(E-B) F
(e)
B^T E
(f)
I2+2 C+C^2
(g)
(I2+C)^2
(h)
C^3 F .
(i)
A A^T
(j)
F D E
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos os exercícios sobre operações com matrizes. Vou te ajudar passo a passo, explicando tudo de forma bem simples para você entender direitinho. Vamos precisar conhecer algumas operações básicas de álgebra linear, como adição, multiplicação, transposição, e potenciação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as matrizes
e
. Para somar duas matrizes, elas precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. As matrizes
e
são ambas de ordem
.
Passo 3
Vamos somar cada elemento correspondente:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as matrizes
e
. A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
.
é
e
é
, então podemos multiplicá-las.
Passo 5
A fórmula para a multiplicação de matrizes é:
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante
:
Passo 6
Calculando cada elemento:
Passo 7
Vamos calcular a transposta de
, ou seja,
. Primeiro, precisamos multiplicar
por
e depois transpor o resultado.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos
(
) por
(
). O resultado será uma matriz
.
Passo 9
Calculando:
Agora, transpondo
(B times A)^T = 39 & 49 & 59 54 & 68 & 82 69 & 87 & 105 :
Passo 10
Vamos calcular
. Primeiro, precisamos subtrair
de
, e depois multiplicar o resultado pela matriz
.
Passo 11
Primeiro, subtraímos
(
) de
(
). Depois, multiplicamos a matriz resultante (
) por
(
), resultando em uma matriz
.
Passo 12
Agora, multiplicamos
(E - B) times F = -8 & -6 -6 & -10 -7 & -11 5 & 1 -2 & 3 = -8*5 + (-6)*(-2) & -8*1 + (-6)*3 -6*5 + (-10)*(-2) & -6*1 + (-10)*3 -7*5 + (-11)*(-2) & -7*1 + (-11)*3 por
(E - B) times F = -40 + 12 & -8 - 18 -30 + 20 & -6 - 30 -35 + 22 & -7 - 33 = -28 & -26 -10 & -36 -13 & -40 :
Calculando:
Passo 13
Vamos calcular
. Primeiro, precisamos transpor
, e depois multiplicar pelo
.
Passo 14
A transposta de
(
) será
(
). Depois, multiplicamos
(
) por
(
), resultando em uma matriz
.
Passo 15
Agora, multiplicando
B^T times E = 7 & 9 & 11 8 & 10 & 12 -1 & 2 3 & 0 4 & 1 = 7*(-1) + 9*3 + 11*4 & 7*2 + 9*0 + 11*1 8*(-1) + 10*3 + 12*4 & 8*2 + 10*0 + 12*1 por
B^T times E = -7 + 27 + 44 & 14 + 0 + 11 -8 + 30 + 48 & 16 + 0 + 12 = 64 & 25 70 & 28 :
Calculando:
Passo 16
Vamos calcular
. Aqui,
é a matriz identidade
e
é uma matriz
. Precisamos somar essas matrizes após multiplicar
por 2 e calcular
ao quadrado.
Passo 17
Primeiro, encontramos
2C = 2 times 2 & 3 0 & 1 = 4 & 6 0 & 2 :
Depois, calculamos
I2 + 2C + C^2 = 1 & 0 0 & 1 + 4 & 6 0 & 2 + 4 & 9 0 & 1 = 1+4+4 & 0+6+9 0+0+0 & 1+2+1 = 9 & 15 0 & 4 :
Agora, somamos
,
e
:
Passo 18
Vamos calcular
. Primeiro, somamos
e
, e depois elevamos a matriz resultante ao quadrado.
Passo 19
Primeiro, somamos
I2 + C = 1 & 0 0 & 1 + 2 & 3 0 & 1 = 3 & 3 0 & 2 e
(I2 + C)^2 = 3 & 3 0 & 2 3 & 3 0 & 2 = 3*3 + 3*0 & 3*3 + 3*2 0*3 + 2*0 & 0*3 + 2*2 = 9 & 15 0 & 4 :
Agora, elevamos essa matriz ao quadrado:
Passo 20
Vamos calcular
. Primeiro, precisamos elevar
ao cubo e depois multiplicar pelo
.
Passo 21
Primeiro, calculamos
C^3 = C times C times C = (C^2) times C :
Já sabemos que:
Agora, multiplicamos
C^3 times F = 8 & 21 0 & 1 5 & 1 -2 & 3 = 8*5 + 21*(-2) & 8*1 + 21*3 0*5 + 1*(-2) & 0*1 + 1*3 = 40 - 42 & 8 + 63 -2 & 3 = -2 & 71 -2 & 3 por
:
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 22
Vamos calcular
. Primeiro, precisamos encontrar a transposta de
e depois multiplicar
por
.
Passo 23
A transposta de
(
) será
(
). Depois, multiplicamos
(
) por
(
), resultando em uma matriz
.
Passo 24
Agora, multiplicando
A times A^T = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 4 2 & 5 3 & 6 = 1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*4 + 2*5 + 3*6 4*1 + 5*2 + 6*3 & 4*4 + 5*5 + 6*6 por
A times A^T = 1 + 4 + 9 & 4 + 10 + 18 4 + 10 + 18 & 16 + 25 + 36 = 14 & 32 32 & 77 :
Calculando:
Passo 25
Vamos calcular
. Primeiro, multiplicamos
por
e depois o resultado por
.
Passo 26
Primeiro, multiplicamos
(
) por
(
). O resultado será uma matriz
. Depois, multiplicamos essa matriz por
(
), resultando em uma matriz
.
Passo 27
Primeiro, calculamos
F times D = 5 & 1 -2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 3 & 5 = 5*2 + 1*1 & 5*4 + 1*3 & 5*6 + 1*5 -2*2 + 3*1 & -2*4 + 3*3 & -2*6 + 3*5 = 10 + 1 & 20 + 3 & 30 + 5 -4 + 3 & -8 + 9 & -12 + 15 = 11 & 23 & 35 -1 & 1 & 3 :
Agora, multiplicamos
(F times D) times E = -11 + 69 + 140 & 22 + 0 + 35 1 + 3 + 12 & -2 + 0 + 3 = 198 & 57 16 & 1 por
:
Calculando: