Considere as seguintes matrizes:
& A=(lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 ), B=(cc 7 & 8 9 & 10 11 & 12 ), C=(ll 2 & 3 0 & 1 ) & D=(lll 2 & 4 & 6 1 & 3 & 5 ), E=(cc -1 & 2 3 & 0 4 & 1 ), F=(cc 5 & 1 -2 & 3 )
Realize as seguintes operações:
(a) A+D
(b) A B
© (B A)^T
(d) (E-B) F
(e) B^T E
(f) I2+2 C+C^2
(g) (I2+C)^2
(h) C^3 F.
(i) A A^T
(j) F D E

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos os exercícios sobre operações com matrizes. Vou te ajudar passo a passo, explicando tudo de forma bem simples para você entender direitinho. Vamos precisar conhecer algumas operações básicas de álgebra linear, como adição, multiplicação, transposição, e potenciação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as matrizes e . Para somar duas matrizes, elas precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. As matrizes e são ambas de ordem .

Passo 3

Vamos somar cada elemento correspondente:
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 , D = 2 & 4 & 6 1 & 3 & 5
A + D = 1+2 & 2+4 & 3+6 4+1 & 5+3 & 6+5 = 3 & 6 & 9 5 & 8 & 11

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as matrizes e . A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . é e é , então podemos multiplicá-las.

Passo 5

A fórmula para a multiplicação de matrizes é:
(A times B)i,j = sumk=1^n Ai,k times Bk,j
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante :

Passo 6

A times B = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 9 & 10 11 & 12 = 1*7 + 2*9 + 3*11 & 1*8 + 2*10 + 3*12 4*7 + 5*9 + 6*11 & 4*8 + 5*10 + 6*12
Calculando cada elemento:
A times B = 7 + 18 + 33 & 8 + 20 + 36 28 + 45 + 66 & 32 + 50 + 72 = 58 & 64 139 & 154

Passo 7

Vamos calcular a transposta de , ou seja, . Primeiro, precisamos multiplicar por e depois transpor o resultado.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos ( ) por ( ). O resultado será uma matriz .

Passo 9

B times A = 7 & 8 9 & 10 11 & 12 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 = 7*1 + 8*4 & 7*2 + 8*5 & 7*3 + 8*6 9*1 + 10*4 & 9*2 + 10*5 & 9*3 + 10*6 11*1 + 12*4 & 11*2 + 12*5 & 11*3 + 12*6
Calculando:
B times A = 7 + 32 & 14 + 40 & 21 + 48 9 + 40 & 18 + 50 & 27 + 60 11 + 48 & 22 + 60 & 33 + 72 = 39 & 54 & 69 49 & 68 & 87 59 & 82 & 105
Agora, transpondo (B times A)^T = 39 & 49 & 59 54 & 68 & 82 69 & 87 & 105 :

Passo 10

Vamos calcular . Primeiro, precisamos subtrair de , e depois multiplicar o resultado pela matriz .

Passo 11

Primeiro, subtraímos ( ) de ( ). Depois, multiplicamos a matriz resultante ( ) por ( ), resultando em uma matriz .

Passo 12

E - B = -1 & 2 3 & 0 4 & 1 - 7 & 8 9 & 10 11 & 12 = -1 - 7 & 2 - 8 3 - 9 & 0 - 10 4 - 11 & 1 - 12 = -8 & -6 -6 & -10 -7 & -11
Agora, multiplicamos (E - B) times F = -8 & -6 -6 & -10 -7 & -11 5 & 1 -2 & 3 = -8*5 + (-6)*(-2) & -8*1 + (-6)*3 -6*5 + (-10)*(-2) & -6*1 + (-10)*3 -7*5 + (-11)*(-2) & -7*1 + (-11)*3 por (E - B) times F = -40 + 12 & -8 - 18 -30 + 20 & -6 - 30 -35 + 22 & -7 - 33 = -28 & -26 -10 & -36 -13 & -40 :
Calculando:

Passo 13

Vamos calcular . Primeiro, precisamos transpor , e depois multiplicar pelo .

Passo 14

A transposta de ( ) será ( ). Depois, multiplicamos ( ) por ( ), resultando em uma matriz .

Passo 15

B^T = 7 & 9 & 11 8 & 10 & 12
Agora, multiplicando B^T times E = 7 & 9 & 11 8 & 10 & 12 -1 & 2 3 & 0 4 & 1 = 7*(-1) + 9*3 + 11*4 & 7*2 + 9*0 + 11*1 8*(-1) + 10*3 + 12*4 & 8*2 + 10*0 + 12*1 por B^T times E = -7 + 27 + 44 & 14 + 0 + 11 -8 + 30 + 48 & 16 + 0 + 12 = 64 & 25 70 & 28 :
Calculando:

Passo 16

Vamos calcular . Aqui, é a matriz identidade e é uma matriz . Precisamos somar essas matrizes após multiplicar por 2 e calcular ao quadrado.

Passo 17

Primeiro, encontramos 2C = 2 times 2 & 3 0 & 1 = 4 & 6 0 & 2 :
C^2 = C times C = 2 & 3 0 & 1 2 & 3 0 & 1 = 2*2 + 3*0 & 2*3 + 3*1 0*2 + 1*0 & 0*3 + 1*1 = 4 & 9 0 & 1
Depois, calculamos I2 + 2C + C^2 = 1 & 0 0 & 1 + 4 & 6 0 & 2 + 4 & 9 0 & 1 = 1+4+4 & 0+6+9 0+0+0 & 1+2+1 = 9 & 15 0 & 4 :
Agora, somamos , e :

Passo 18

Vamos calcular . Primeiro, somamos e , e depois elevamos a matriz resultante ao quadrado.

Passo 19

Primeiro, somamos I2 + C = 1 & 0 0 & 1 + 2 & 3 0 & 1 = 3 & 3 0 & 2 e (I2 + C)^2 = 3 & 3 0 & 2 3 & 3 0 & 2 = 3*3 + 3*0 & 3*3 + 3*2 0*3 + 2*0 & 0*3 + 2*2 = 9 & 15 0 & 4 :
Agora, elevamos essa matriz ao quadrado:

Passo 20

Vamos calcular . Primeiro, precisamos elevar ao cubo e depois multiplicar pelo .

Passo 21

Primeiro, calculamos C^3 = C times C times C = (C^2) times C :
C^2 = 4 & 9 0 & 1
Já sabemos que:
C^3 = 4 & 9 0 & 1 2 & 3 0 & 1 = 4*2 + 9*0 & 4*3 + 9*1 0*2 + 1*0 & 0*3 + 1*1 = 8 & 21 0 & 1
Agora, multiplicamos C^3 times F = 8 & 21 0 & 1 5 & 1 -2 & 3 = 8*5 + 21*(-2) & 8*1 + 21*3 0*5 + 1*(-2) & 0*1 + 1*3 = 40 - 42 & 8 + 63 -2 & 3 = -2 & 71 -2 & 3 por :
Agora, multiplicamos por :

Passo 22

Vamos calcular . Primeiro, precisamos encontrar a transposta de e depois multiplicar por .

Passo 23

A transposta de ( ) será ( ). Depois, multiplicamos ( ) por ( ), resultando em uma matriz .

Passo 24

A^T = 1 & 4 2 & 5 3 & 6
Agora, multiplicando A times A^T = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 4 2 & 5 3 & 6 = 1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*4 + 2*5 + 3*6 4*1 + 5*2 + 6*3 & 4*4 + 5*5 + 6*6 por A times A^T = 1 + 4 + 9 & 4 + 10 + 18 4 + 10 + 18 & 16 + 25 + 36 = 14 & 32 32 & 77 :
Calculando:

Passo 25

Vamos calcular . Primeiro, multiplicamos por e depois o resultado por .

Passo 26

Primeiro, multiplicamos ( ) por ( ). O resultado será uma matriz . Depois, multiplicamos essa matriz por ( ), resultando em uma matriz .

Passo 27

Primeiro, calculamos F times D = 5 & 1 -2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 3 & 5 = 5*2 + 1*1 & 5*4 + 1*3 & 5*6 + 1*5 -2*2 + 3*1 & -2*4 + 3*3 & -2*6 + 3*5 = 10 + 1 & 20 + 3 & 30 + 5 -4 + 3 & -8 + 9 & -12 + 15 = 11 & 23 & 35 -1 & 1 & 3 :
(F times D) times E = 11 & 23 & 35 -1 & 1 & 3 -1 & 2 3 & 0 4 & 1 = 11*(-1) + 23*3 + 35*4 & 11*2 + 23*0 + 35*1 -1*(-1) + 1*3 + 3*4 & -1*2 + 1*0 + 3*1
Agora, multiplicamos (F times D) times E = -11 + 69 + 140 & 22 + 0 + 35 1 + 3 + 12 & -2 + 0 + 3 = 198 & 57 16 & 1 por :
Calculando:

Resposta

F times D times E = 198 & 57 16 & 1

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